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Chapitre 2.2
2. Analyse

Limites et continuité

Idée intuitive

Une limite décrit le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une valeur ou devient très grande en valeur absolue.

Elle ne décrit pas nécessairement la valeur exacte de la fonction au point étudié : elle décrit ce qui se passe au voisinage de ce point.

“

Une limite ne dit pas toujours ce que vaut la fonction au point étudié ; elle dit ce qui se passe lorsque l'on s'en approche.

Citation pédagogique

Avant de calculer une limite, il faut identifier la forme de l'expression obtenue : forme simple, quotient, produit, racine ou forme indéterminée.

Conseil de méthode

Avant d'aborder ce chapitre, il est utile de maîtriser les notions générales sur les fonctions, notamment l'ensemble de définition, les images, les antécédents et la représentation graphique.

Parcours conseillé dans ce chapitre

Pour travailler efficacement :

  1. commencer par comprendre graphiquement ce que signifie une limite ;
  2. mémoriser les limites de référence ;
  3. apprendre à reconnaître les formes indéterminées ;
  4. choisir une transformation adaptée ;
  5. interpréter les résultats en termes d'asymptotes ou de continuité ;
  6. appliquer le théorème des valeurs intermédiaires aux équations ;
  7. terminer par les exercices sans consulter immédiatement les indices.

Comprendre une limite sur un graphique

La représentation graphique permet de donner un sens concret à la notion de limite.

Pour étudier :

$$ \lim_{x\to a}f(x), $$

on ne regarde pas seulement le point de la courbe d'abscisse \(a\). On observe surtout le comportement de la courbe lorsque \(x\) se rapproche de \(a\).

Idée intuitive

Pour lire graphiquement une limite en \(a\) :

  1. repérer la valeur \(a\) sur l'axe des abscisses ;
  2. suivre la courbe lorsque \(x\) se rapproche de \(a\) ;
  3. observer la valeur vers laquelle les ordonnées semblent se rapprocher ;
  4. effectuer cette lecture à gauche puis à droite de \(a\).

La limite peut exister sans que la fonction soit définie

Considérons :

$$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. $$

La fonction n'est pas définie en \(x=1\), mais, pour \(x\neq 1\) :

$$ f(x)=x+1. $$

La courbe est donc la droite d'équation :

$$ y=x+1 $$

privée du point :

$$ (1,2). $$

Lorsque \(x\) se rapproche de \(1\), les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent de \(2\). Ainsi :

$$ \lim_{x\to 1}f(x)=2. $$

La présence d'un point manquant ne suffit donc pas à empêcher l'existence d'une limite.

Figure
Droite y = x + 1 avec un point manquant au point (1,2).

Une limite peut exister même si la fonction n'est pas définie au point étudié.

Point d'attention

La limite décrit le comportement de la courbe au voisinage du point étudié.

La valeur \(f(a)\), lorsqu'elle existe, décrit seulement la position exacte du point de la courbe d'abscisse \(a\).

La limite peut être différente à gauche et à droite

Considérons une fonction définie par :

$$ f(x)= \begin{cases} -1, & \text{si }x<0,\\ 1, & \text{si }x\geq 0. \end{cases} $$

Lorsque \(x\) se rapproche de \(0\) par valeurs inférieures, la courbe se rapproche de la hauteur \(-1\) :

$$ \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1. $$

Lorsque \(x\) se rapproche de \(0\) par valeurs supérieures, la courbe se rapproche de la hauteur \(1\) :

$$ \lim_{x\to 0^+}f(x)=1. $$

Les deux limites latérales étant différentes, la fonction n'admet pas de limite en \(0\).

Lecture graphique d'une limite

Pour conclure graphiquement que :

$$ \lim_{x\to a}f(x)=\ell, $$

il faut vérifier que la courbe se rapproche de la même hauteur \(\ell\) :

  • lorsque \(x\) arrive par la gauche ;
  • lorsque \(x\) arrive par la droite.

Limite finie en un point

Soit \(f\) une fonction définie au voisinage d'un réel \(a\), éventuellement non définie en \(a\).

Définition

On dit que \(f(x)\) admet pour limite le réel \(\ell\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) si les valeurs de \(f(x)\) deviennent aussi proches que souhaité de \(\ell\) lorsque \(x\) est suffisamment proche de \(a\).

On écrit :

$$ \lim_{x\to a}f(x)=\ell. $$

La limite dépend du comportement de la fonction autour de \(a\), et non uniquement de la valeur \(f(a)\).

Point d'attention

Les trois situations suivantes sont possibles :

  • \(f(a)\) existe et la limite existe ;
  • \(f(a)\) n'existe pas, mais la limite existe ;
  • \(f(a)\) existe, mais la limite n'existe pas.

Il ne faut donc pas confondre \(f(a)\) et \(\lim_{x\to a}f(x)\).

Limites à gauche et à droite

Il peut être nécessaire d'étudier séparément le comportement de la fonction de chaque côté du point \(a\).

Définition

La limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) par valeurs inférieures est appelée limite à gauche de \(f\) en \(a\).

Elle peut être notée :

$$ \lim_{x\to a^-}f(x) $$

ou, en faisant apparaître explicitement la condition \(x<a\) sous le symbole de limite :

$$ \lim_{\substack{x\to a\\x<a}}f(x). $$

ou simplement :

$$ \lim_{\substack{x\to a\\<}}f(x). $$

La limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) par valeurs supérieures est appelée limite à droite de \(f\) en \(a\).

Elle peut être notée :

$$ \lim_{x\to a^+}f(x) $$

ou, en faisant apparaître explicitement la condition \(x>a\) :

$$ \lim_{\substack{x\to a\\x>a}}f(x). $$

ou simplement :

$$ \lim_{\substack{x\to a\\>}}f(x). $$
Point d'attention

Dans les notations :

$$ \lim_{\substack{x\to a\\x<a}}f(x) \quad\text{et}\quad \lim_{\substack{x\to a\\x>a}}f(x), $$

les conditions \(x<a\) et \(x>a\) indiquent le côté par lequel \(x\) s'approche de \(a\).

  • \(x<a\) correspond à une approche par la gauche ;
  • \(x>a\) correspond à une approche par la droite.

Les signes \(+\) et \(-\) placés sur \(a\) n'indiquent pas le signe de \(a\). Ils indiquent uniquement le côté par lequel \(x\) s'approche de \(a\).

Propriété

La fonction \(f\) possède une limite finie \(\ell\) en \(a\) si et seulement si :

$$ \lim_{x\to a^-}f(x) = \lim_{x\to a^+}f(x) = \ell. $$

De manière équivalente :

$$ \lim_{\substack{x\to a\\<}}f(x) = \lim_{\substack{x\to a\\>}}f(x) = \ell. $$
Figure
Fonction en escalier ayant une limite à gauche égale à -1 et une limite à droite égale à 1 en 0.

Lorsque les limites latérales sont différentes, la limite en ce point n'existe pas.

Exemple commenté

Considérons la fonction :

$$ f(x)= \begin{cases} -1, & \text{si }x<0,\\ 1, & \text{si }x\geq 0. \end{cases} $$

On a :

$$ \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1 $$

et :

$$ \lim_{x\to 0^+}f(x)=1. $$

Les deux limites étant différentes, \(f\) n'admet pas de limite en \(0\).

Limite d'une fonction à l'infini

On peut également étudier le comportement d'une fonction lorsque \(x\) devient très grand positivement ou négativement.

Définition

On écrit :

$$ \lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell $$

lorsque les valeurs de \(f(x)\) deviennent aussi proches que souhaité de \(\ell\) pour des valeurs suffisamment grandes de \(x\).

De même :

$$ \lim_{x\to -\infty}f(x)=\ell $$

décrit le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeur absolue.

Exemple commenté

Pour la fonction :

$$ f(x)=\frac{1}{x}, $$

on a :

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0 $$

et :

$$ \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0. $$

Limite infinie en un point

Une fonction peut devenir arbitrairement grande en valeur absolue lorsque \(x\) s'approche d'un point.

Définition

On écrit :

$$ \lim_{x\to a}f(x)=+\infty $$

lorsque \(f(x)\) devient aussi grande que souhaité lorsque \(x\) est suffisamment proche de \(a\).

On définit de manière analogue une limite égale à \(-\infty\).

Exemple commenté

Pour la fonction :

$$ f(x)=\frac{1}{x-2}, $$

on obtient :

$$ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty $$

et :

$$ \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{x-2}=+\infty. $$

La fonction n'admet donc pas une limite unique en \(2\), mais elle possède deux limites latérales infinies.

Limites de référence

Certaines limites doivent être connues, car elles interviennent régulièrement dans les calculs.

Les calculs faisant intervenir sinus et cosinus supposent la maîtrise du cercle trigonométrique et des identités usuelles.

Limites au voisinage de zéro

Pour tout entier naturel non nul \(n\) :

$$ \lim_{x\to 0}x^n=0. $$

On a également :

$$ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. $$

Pour les fonctions trigonométriques :

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$

et :

$$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac12. $$
Limites à l'infini

Pour tout entier naturel non nul \(n\) :

$$ \lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty $$

et :

$$ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^n}=0. $$

On a aussi :

$$ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty. $$
Point d'attention

Les fonctions sinus et cosinus n'admettent pas de limite en \(+\infty\) ni en \(-\infty\), car elles oscillent indéfiniment entre \(-1\) et \(1\).

Opérations sur les limites

Les règles usuelles de calcul algébrique s'étendent aux limites, lorsque les expressions obtenues ont un sens.

Propriété

Supposons que :

$$ \lim_{x\to a}f(x)=\ell $$

et :

$$ \lim_{x\to a}g(x)=m. $$

Alors :

$$ \lim_{x\to a}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\ell+m, $$
$$ \lim_{x\to a}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=\ell-m, $$

et :

$$ \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\ell m. $$

Si \(m\neq 0\), alors :

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\ell}{m}. $$
Point d'attention

Ces règles ne permettent pas de conclure directement lorsqu'une forme indéterminée apparaît.

Comparaison et encadrement

Les propriétés de comparaison permettent de conclure sans calculer directement la limite de la fonction étudiée.

Comparaison avec une fonction divergente

Supposons que, pour tout \(x\) suffisamment grand :

$$ f(x)\geq g(x). $$

Si :

$$ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty, $$

alors :

$$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. $$

De même, si :

$$ f(x)\leq g(x) $$

et :

$$ g(x)\to-\infty, $$

alors :

$$ f(x)\to-\infty. $$
Théorème des gendarmes

Supposons que, pour tout \(x\) suffisamment proche du point étudié :

$$ g(x)\leq f(x)\leq h(x). $$

Si :

$$ \lim g(x)=\lim h(x)=\ell, $$

alors :

$$ \lim f(x)=\ell. $$
Exemple commenté

Comme :

$$ -1\leq\sin x\leq1, $$

on a, pour \(x\neq0\) :

$$ -\frac1{x^2} \leq \frac{\sin x}{x^2} \leq \frac1{x^2}. $$

Lorsque \(x\to\pm\infty\), les deux fonctions encadrantes tendent vers \(0\). Par conséquent :

$$ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{\sin x}{x^2} = 0. $$

Formes indéterminées

Les principales formes indéterminées rencontrées en Terminale sont :

$$ \frac{0}{0}, $$
$$ \frac{\infty}{\infty}, $$
$$ \infty-\infty, $$

et :

$$ 0\times\infty. $$

Une forme indéterminée ne signifie pas que la limite n'existe pas. Elle signifie que l'expression doit être transformée avant de conclure.

Lever une forme indéterminée

Selon la forme obtenue, on peut :

  1. factoriser une expression ;
  2. simplifier un facteur commun ;
  3. réduire au même dénominateur ;
  4. multiplier par une expression conjuguée ;
  5. mettre en facteur le terme dominant ;
  6. effectuer une division euclidienne.

Factorisation et simplification

Exemple commenté

Calculer :

$$ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. $$
Corrigé

En remplaçant directement \(x\) par \(1\), on obtient la forme indéterminée :

$$ \frac{0}{0}. $$

On factorise :

$$ x^2-1=(x-1)(x+1). $$

Pour \(x\neq 1\) :

$$ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1. $$

Par conséquent :

$$ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2. $$

Utilisation de l'expression conjuguée

La multiplication par une expression conjuguée est particulièrement utile pour les limites contenant des racines carrées.

Exemple commenté

Calculer :

$$ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right). $$
Corrigé

On multiplie et on divise par l'expression conjuguée :

$$ \sqrt{x^2+x}+x. $$

Ainsi :

$$ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)} {\sqrt{x^2+x}+x}. $$

Le numérateur devient :

$$ x^2+x-x^2=x. $$

Donc :

$$ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. $$

Pour \(x>0\), on factorise \(x\) au dénominateur :

$$ \sqrt{x^2+x} = x\sqrt{1+\frac{1}{x}}. $$

On obtient :

$$ \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x}}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}. $$

Lorsque \(x\to+\infty\) :

$$ \frac{1}{x}\to 0. $$

Par conséquent :

$$ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. $$

Limite d'une fonction composée

Une fonction complexe peut parfois être décomposée en plusieurs fonctions plus simples.

Limite d'une composée

Supposons que :

$$ \lim_{x\to a}f(x)=b $$

et que :

$$ \lim_{y\to b}g(y)=\ell. $$

Alors, lorsque la composition est définie au voisinage du point étudié :

$$ \lim_{x\to a}g(f(x))=\ell. $$
Exemple commenté

Calculons :

$$ \lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{2x-1}{x+1}}. $$

On a :

$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{2x-1}{x+1} = 2. $$

La fonction racine carrée est continue en \(2\). Donc :

$$ \lim_{x\to+\infty} \sqrt{\frac{2x-1}{x+1}} = \sqrt{2}. $$
Reconnaître une composée

Pour exploiter une composition :

  1. identifier l'expression intérieure \(f(x)\) ;
  2. calculer sa limite \(b\) ;
  3. identifier la fonction extérieure \(g\) ;
  4. étudier sa limite ou sa continuité en \(b\) ;
  5. conclure sur \(g(f(x))\).

Terme dominant d'un polynôme

À l'infini, le comportement d'un polynôme est déterminé par son terme de plus haut degré.

Propriété

Soit :

$$ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0, $$

avec \(a_n\neq 0\).

À l'infini, \(P(x)\) a le même comportement que son terme dominant :

$$ a_nx^n. $$
Exemple commenté

Lorsque \(x\to+\infty\) :

$$ 3x^4-2x^2+x-5 $$

a le même comportement que :

$$ 3x^4. $$

Donc :

$$ \lim_{x\to+\infty} \left(3x^4-2x^2+x-5\right) = +\infty. $$

Limite d'une fraction rationnelle à l'infini

Pour une fraction rationnelle, on compare les degrés du numérateur et du dénominateur.

Méthode

Pour calculer la limite à l'infini de :

$$ \frac{P(x)}{Q(x)}, $$

on peut diviser le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de \(x\) présente au dénominateur.

On peut également comparer directement les termes dominants.

Exemple commenté

Calculer :

$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2-1}{x^2+2}. $$
Corrigé

On divise le numérateur et le dénominateur par \(x^2\) :

$$ \frac{3x^2-1}{x^2+2} = \frac{3-\frac{1}{x^2}} {1+\frac{2}{x^2}}. $$

Lorsque \(x\to+\infty\) :

$$ \frac{1}{x^2}\to 0. $$

Donc :

$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{3x^2-1}{x^2+2} = 3. $$

Branches infinies et asymptotes

Une courbe possède une branche infinie lorsqu'elle s'éloigne indéfiniment dans le plan.

Cette situation apparaît notamment :

  • lorsque \(x\) tend vers une valeur finie \(a\) et que \(f(x)\) devient infinie ;
  • lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\).

L'étude d'une branche infinie consiste à rechercher une droite ou, plus généralement, une direction qui décrit le comportement de la courbe.

Asymptote verticale

Définition

La droite d'équation :

$$ x=a $$

est une asymptote verticale à la courbe de \(f\) lorsqu'au moins une des limites latérales suivantes est infinie :

$$ \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty $$

ou :

$$ \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty. $$
Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=\frac{1}{x-2}. $$

On a :

$$ \lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty $$

et :

$$ \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty. $$

La droite :

$$ x=2 $$

est donc une asymptote verticale.

Point d'attention

Il n'est pas nécessaire que les deux limites latérales aient le même signe pour conclure à l'existence d'une asymptote verticale.

Asymptote horizontale

Définition

La droite d'équation :

$$ y=\ell $$

est une asymptote horizontale à la courbe de \(f\) lorsque :

$$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell $$

ou :

$$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell. $$

Une même fonction peut posséder deux asymptotes horizontales différentes : l'une en \(+\infty\), l'autre en \(-\infty\).

Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=\frac{2x+1}{x+3}. $$

En divisant le numérateur et le dénominateur par \(x\), on obtient :

$$ f(x) = \frac{2+\frac1x}{1+\frac3x}. $$

Ainsi :

$$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=2 $$

et :

$$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=2. $$

La droite :

$$ y=2 $$

est une asymptote horizontale aux deux extrémités de la courbe.

Asymptote oblique

Définition

La droite d'équation :

$$ y=ax+b $$

est une asymptote oblique à la courbe de \(f\) en \(+\infty\) lorsque :

$$ \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0. $$

La définition est analogue en \(-\infty\).

La courbe se rapproche alors de la droite lorsque \(x\) devient très grand en valeur absolue.

Recherche systématique d'une asymptote oblique

Supposons que :

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a, $$

avec \(a\neq 0\).

Si :

$$ \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b, $$

alors la droite :

$$ y=ax+b $$

est une asymptote oblique en \(+\infty\).

Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x+1}. $$

La division euclidienne donne :

$$ f(x)=x+1+\frac{2}{x+1}. $$

Comme :

$$ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{x+1}=0, $$

on obtient :

$$ \lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-(x+1)\right)=0. $$

La droite :

$$ y=x+1 $$

est une asymptote oblique en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Les familles d'asymptotes
Planche comparative des asymptotes verticale, horizontale et oblique.

Trois familles d'asymptotes à reconnaître rapidement.

Position relative de la courbe et de son asymptote

Lorsqu'une asymptote :

$$ y=ax+b $$

est connue, on étudie le signe de :

$$ f(x)-(ax+b). $$
Position relative à une asymptote
  • Si :
$$ f(x)-(ax+b)>0, $$

alors la courbe est située au-dessus de l'asymptote.

  • Si :
$$ f(x)-(ax+b)<0, $$

alors la courbe est située au-dessous de l'asymptote.

  • Si :
$$ f(x)-(ax+b)=0, $$

alors la courbe et l'asymptote se coupent.

Point d'attention

Une courbe peut couper son asymptote.

Le mot « asymptote » signifie que la distance entre la courbe et la droite tend vers zéro à l'infini, et non que la courbe ne peut jamais rencontrer cette droite.

Direction asymptotique

Il arrive que la courbe ne possède pas d'asymptote, mais qu'elle s'oriente progressivement suivant une direction privilégiée.

On suppose dans ce qui suit que :

$$ \lim_{x\to+\infty}|f(x)|=+\infty. $$

On étudie alors :

$$ \frac{f(x)}{x}. $$

Direction verticale

Définition

Si :

$$ \lim_{x\to+\infty} \left|\frac{f(x)}{x}\right| = +\infty, $$

alors la courbe possède une branche parabolique de direction parallèle à l'axe des ordonnées.

Exemple commenté

Pour :

$$ f(x)=x^2, $$

on a :

$$ \frac{f(x)}{x}=x. $$

Donc :

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty. $$

La courbe possède une branche parabolique de direction verticale.

Direction horizontale

Définition

Si :

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0 $$

et si :

$$ |f(x)|\to+\infty, $$

alors la courbe possède une branche parabolique de direction parallèle à l'axe des abscisses.

Exemple commenté

Pour :

$$ f(x)=\sqrt{x}, $$

on a :

$$ \lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}=+\infty $$

et :

$$ \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}. $$

Donc :

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0. $$

La courbe possède une branche parabolique de direction horizontale.

Direction d'une droite \(y=ax\)

Supposons maintenant que :

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a, $$

avec :

$$ a\neq 0. $$

Il faut alors étudier :

$$ f(x)-ax. $$

Trois situations principales peuvent se présenter.

Propriété

Si :

$$ \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=b, $$

avec \(b\in\mathbb{R}\), alors :

$$ y=ax+b $$

est une asymptote oblique.

Propriété

Si :

$$ \lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-ax\right)=\pm\infty, $$

alors la courbe possède une branche parabolique de direction :

$$ y=ax. $$
Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=x-\sqrt{x}. $$

On a :

$$ \frac{f(x)}{x} = 1-\frac{1}{\sqrt{x}}, $$

donc :

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=1. $$

Mais :

$$ f(x)-x=-\sqrt{x}\to-\infty. $$

La courbe ne possède pas l'asymptote \(y=x\), mais elle possède une branche parabolique de direction \(y=x\).

Propriété

Si \(\frac{f(x)}x\) tend vers un réel non nul \(a\), mais que \(f(x)-ax\) n'admet pas de limite, la courbe peut posséder la direction asymptotique :

$$ y=ax $$

sans posséder d'asymptote.

Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=x+\sin x. $$

On a :

$$ \frac{f(x)}{x} = 1+\frac{\sin x}{x}. $$

Comme :

$$ \frac{\sin x}{x}\to0, $$

on obtient :

$$ \frac{f(x)}x\to1. $$

Cependant :

$$ f(x)-x=\sin x $$

n'admet pas de limite.

La courbe oscille donc autour de la droite \(y=x\), qui indique sa direction, mais n'est pas une asymptote.

Organigramme d'étude d'une branche infinie

Étudier une branche infinie en \(+\infty\) ou en \(-\infty\)

Première situation — La fonction possède une limite finie

Si :

$$ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell, $$

alors :

$$ y=\ell $$

est une asymptote horizontale.

Deuxième situation — La fonction devient infinie

Si :

$$ |f(x)|\to+\infty, $$

calculer :

$$ L=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x. $$
  • Si :
$$ |L|=+\infty, $$

la courbe possède une branche parabolique de direction verticale.

  • Si :
$$ L=0, $$

la courbe possède une branche parabolique de direction horizontale.

  • Si :
$$ L=a\neq0, $$

calculer ensuite :

$$ M=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-ax\right). $$

Interprétation de la seconde limite

  • Si :
$$ M=b\in\mathbb{R}, $$

alors :

$$ y=ax+b $$

est une asymptote oblique.

  • Si :
$$ M=\pm\infty, $$

la courbe possède une branche parabolique de direction :

$$ y=ax. $$
  • Si \(M\) n'existe pas, la courbe peut seulement posséder la direction asymptotique \(y=ax\).

Cas sans direction exploitable

Si :

$$ \frac{f(x)}x $$

n'admet aucune limite, on ne peut conclure à l'existence d'une asymptote oblique ni d'une direction asymptotique à l'aide de cette méthode.

Point d'attention

L'étude doit être menée séparément en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Une fonction peut posséder :

  • une asymptote en \(+\infty\) et une autre en \(-\infty\) ;
  • une asymptote d'un côté seulement ;
  • des directions différentes aux deux extrémités.
Étude d'une branche infinie
Organigramme de décision pour étudier une branche infinie.

Cet organigramme résume la démarche à appliquer en \(+\infty\) ou en \(-\infty\).

Fonctions monotones et limites

La monotonie permet parfois de garantir l'existence d'une limite sans connaître une formule explicite simple.

Fonction croissante et majorée

Une fonction croissante et majorée sur un intervalle de la forme :

$$ [a,b[ $$

admet une limite finie à gauche de \(b\).

De même, une fonction croissante et majorée sur :

$$ [a,+\infty[ $$

admet une limite finie ou infinie en \(+\infty\).

Fonction croissante non majorée

Si une fonction est croissante et non majorée lorsque \(x\) tend vers une borne supérieure, alors :

$$ f(x)\to+\infty. $$
Point d'attention

Les résultats correspondants pour une fonction décroissante s'obtiennent en échangeant :

  • majorée et minorée ;
  • \(+\infty\) et \(-\infty\).

Continuité en un point

Définition

Une fonction \(f\) est continue en un réel \(a\) lorsque :

  1. \(f(a)\) existe ;
  2. \(\lim_{x\to a}f(x)\) existe ;
  3. ces deux valeurs sont égales.

On écrit alors :

$$ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). $$

Intuitivement, une fonction est continue lorsqu'on peut tracer sa courbe autour du point étudié sans lever le crayon.

Point d'attention

Une fonction peut avoir une limite en \(a\) sans être continue en \(a\).

C'est notamment le cas lorsqu'elle n'est pas définie en \(a\), ou lorsque sa valeur en \(a\) est différente de sa limite.

Continuité sur un intervalle

Définition

Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu'elle est continue en chacun des points de cet intervalle.

Les fonctions usuelles suivantes sont continues sur leur domaine :

  • les fonctions polynomiales ;
  • les fonctions rationnelles ;
  • la fonction racine carrée ;
  • les fonctions trigonométriques usuelles ;
  • les fonctions exponentielle et logarithme, sur leurs domaines respectifs.
Propriété

La somme et le produit de fonctions continues sont continus.

Le quotient de deux fonctions continues est continu lorsque le dénominateur ne s'annule pas.

La composée de deux fonctions continues est continue lorsque la composition est définie.

Prolongement par continuité

Lorsqu'une fonction n'est pas définie en un point mais possède une limite finie en ce point, on peut parfois compléter sa définition.

Définition

Soit \(f\) une fonction non définie en \(a\), mais telle que :

$$ \lim_{x\to a}f(x)=\ell. $$

La fonction \(g\) définie par :

$$ g(x)= \begin{cases} f(x), & \text{si }x\neq a,\\ \ell, & \text{si }x=a \end{cases} $$

est appelée prolongement par continuité de \(f\) en \(a\).

Graphiquement, le prolongement consiste à compléter un point manquant sur la courbe.

Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle fermé \([a,b]\).

Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\in[a,b]\) tel que :

$$ f(c)=k. $$

Une conséquence importante concerne l'existence d'une solution à une équation.

Propriété

Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et si :

$$ f(a)f(b)<0, $$

alors l'équation :

$$ f(x)=0 $$

possède au moins une solution dans l'intervalle \(]a,b[\).

Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=x^3+x-1. $$

La fonction est continue sur \([0,1]\).

On a :

$$ f(0)=-1 $$

et :

$$ f(1)=1. $$

Comme :

$$ f(0)f(1)<0, $$

le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'au moins une solution de :

$$ x^3+x-1=0 $$

dans l'intervalle \(]0,1[\).

Existence et unicité d'une solution

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit une existence. Pour garantir l'unicité, il faut ajouter une information supplémentaire.

Existence et unicité

Soit \(f\) une fonction :

  • continue sur un intervalle \([a,b]\) ;
  • strictement monotone sur \([a,b]\).

Si :

$$ f(a)f(b)<0, $$

alors l'équation :

$$ f(x)=0 $$

admet une unique solution dans \(]a,b[\).

Point d'attention

La continuité et le changement de signe garantissent au moins une solution.

La stricte monotonie est ce qui permet d'affirmer qu'il n'y en a qu'une seule.

Approximation d'une solution par dichotomie

Lorsqu'une solution ne peut pas être déterminée exactement, on peut l'approcher numériquement.

Méthode de dichotomie

On suppose que \(f\) est continue sur \([a,b]\) et que :

$$ f(a)f(b)<0. $$
  1. calculer le milieu :
$$ m=\frac{a+b}{2}; $$
  1. calculer \(f(m)\) ;
  1. conserver la moitié de l'intervalle sur laquelle les valeurs aux extrémités sont de signes contraires ;
  1. recommencer jusqu'à atteindre la précision demandée.

À chaque étape, la longueur de l'intervalle est divisée par \(2\).

Exemple commenté

Pour localiser la solution de :

$$ x^3+x-1=0 $$

dans \(]0,1[\), on calcule d'abord :

$$ m=\frac{0+1}{2}=0{,}5. $$

Puis on étudie le signe de :

$$ f(0{,}5). $$

On conserve ensuite soit \([0,0{,}5]\), soit \([0{,}5,1]\), selon le changement de signe observé.

Méthode générale d'étude d'une limite

Méthode

Pour calculer une limite :

  1. déterminer le domaine de définition ;
  2. identifier le point ou l'infini étudié ;
  3. effectuer une substitution directe lorsque cela est possible ;
  4. identifier une éventuelle forme indéterminée ;
  5. choisir une transformation adaptée ;
  6. calculer la limite ;
  7. interpréter le résultat graphiquement lorsque cela est pertinent.

Exercices d'entraînement

Exercice

Limite d'une fraction rationnelle

Application EntraînementDifficulté 2/5Corrigé complet
limitesfactorisationcontinuité

Soit la fonction définie par :

$$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. $$
  1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\).
  2. Simplifier l'expression de \(f(x)\) lorsque cela est possible.
  3. Calculer :
$$ \lim_{x\to 1}f(x). $$
Exercice

Lever une indétermination avec une expression conjuguée

Méthode ApprofondissementDifficulté 3/5Corrigé complet
limitesracineconjuguéeforme indéterminée

Calculer :

$$ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right). $$
Exercice

Limite d'une fraction rationnelle à l'infini

Application EntraînementDifficulté 2/5Corrigé complet
limitesfraction rationnelleinfini

Calculer :

$$ \lim_{x\to+\infty} \frac{5x^2-3x+1}{2x^2+x-4}. $$
Exercice

Étudier les limites latérales

Méthode Type BacDifficulté 3/5Corrigé complet
limiteslimites latéralesasymptote verticale

Soit :

$$ f(x)=\frac{2x+1}{x-3}. $$
  1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\).
  2. Calculer :
$$ \lim_{x\to 3^-}f(x). $$
  1. Calculer :
$$ \lim_{x\to 3^+}f(x). $$
  1. En déduire une asymptote à la courbe.
Exercice

Déterminer une asymptote oblique

Méthode Type BacDifficulté 3/5Corrigé complet
limitesasymptote obliquedivision euclidienne

Soit :

$$ f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x+1}. $$
  1. Effectuer la division euclidienne du numérateur par \(x+1\).
  2. Écrire \(f(x)\) sous la forme :
$$ f(x)=mx+p+\frac{r}{x+1}. $$
  1. Déterminer une asymptote oblique à la courbe de \(f\).
Exercice

Établir l'existence d'une solution

Application Type BacDifficulté 3/5Corrigé complet
continuitéthéorème des valeurs intermédiairesexistence

On considère la fonction :

$$ f(x)=x^3+x-1. $$

Montrer que l'équation :

$$ f(x)=0 $$

possède au moins une solution dans l'intervalle \(]0,1[\).

Pour poursuivre, consulter la dérivation et l'étude de fonctions, qui permettront notamment d'étudier les variations et de préciser l'unicité éventuelle d'une solution.

Problème guidé

Exercice

Rendre une fonction continue en un point

Problème de synthèse Type BacDifficulté 4/5Corrigé complet
limitescontinuitéparamètrefactorisationprolongement par continuitéproblème guidé

Pour tout réel \(a\), on considère :

$$ f_a(x)=\frac{x^2+ax+2}{x+1}. $$

L'objectif est de déterminer s'il est possible de choisir \(a\) afin de prolonger \(f_a\) par continuité en \(x=-1\).

Partie A — Première analyse

  1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f_a\).
  2. Calculer la valeur du numérateur en \(x=-1\).
  3. Expliquer pourquoi cette valeur joue un rôle essentiel.

Partie B — Détermination du paramètre

  1. Déterminer la valeur de \(a\) pour laquelle le numérateur s'annule en \(-1\).
  2. Factoriser alors le numérateur.
  3. Simplifier \(f_a(x)\) pour \(x\neq -1\).
  4. Calculer :
$$ \lim_{x\to -1}f_a(x). $$

Partie C — Prolongement

On définit :

$$ g(x)= \begin{cases} f_a(x), & \text{si }x\neq -1,\\ \ell, & \text{si }x=-1. \end{cases} $$
  1. Déterminer \(\ell\) pour que \(g\) soit continue en \(-1\).
  2. Donner une expression simplifiée de \(g(x)\).
  3. Interpréter graphiquement le prolongement.

Partie D — Autres valeurs du paramètre

  1. Étudier le cas \(a\neq 3\).
  2. Expliquer pourquoi aucune limite finie n'existe alors en \(-1\).
  3. Conclure.
Synthèse

Pour maîtriser les limites et la continuité, il faut retenir les points suivants :

  1. Une limite décrit le comportement d'une fonction au voisinage d'un point ou à l'infini.
  2. Une limite en un point existe lorsque les limites à gauche et à droite sont égales.
  3. Les formes \(\frac00\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\infty-\infty\) et \(0\times\infty\) sont indéterminées.
  4. Une forme indéterminée doit être transformée par factorisation, conjugaison ou étude des termes dominants.
  5. Une limite infinie en un point peut révéler une asymptote verticale.
  6. Une limite finie à l'infini peut révéler une asymptote horizontale.
  7. Une asymptote oblique est obtenue en comparant \(f(x)\) à une fonction affine.
  8. Une fonction est continue en \(a\) lorsque sa limite en \(a\) est égale à \(f(a)\).
  9. Une discontinuité amovible peut parfois être corrigée par prolongement.
  10. Le théorème des valeurs intermédiaires permet d'établir l'existence de solutions d'équations.
Fiche de synthèse — Limites et continuité

1. Sens d'une limite

La limite décrit le comportement de \(f(x)\) lorsque \(x\) :

  • se rapproche d'un réel \(a\) ;
  • tend vers \(+\infty\) ;
  • tend vers \(-\infty\).

Elle ne dépend pas nécessairement de la valeur exacte de \(f(a)\).

2. Limites latérales

La limite à gauche peut s'écrire :

$$ \lim_{x\to a^-}f(x) \quad\text{ou}\quad \lim_{\substack{x\to a\\x<a}}f(x). $$

La limite à droite peut s'écrire :

$$ \lim_{x\to a^+}f(x) \quad\text{ou}\quad \lim_{\substack{x\to a\\x>a}}f(x). $$

La limite en \(a\) existe lorsque les deux limites latérales existent et sont égales.

3. Formes indéterminées

Les principales formes indéterminées sont :

$$ \frac00, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\times\infty. $$

Elles doivent être transformées par :

  • factorisation ;
  • simplification ;
  • réduction au même dénominateur ;
  • expression conjuguée ;
  • mise en facteur du terme dominant ;
  • division euclidienne.

4. Outils de calcul

Les outils essentiels sont :

  • les limites de référence ;
  • les opérations sur les limites ;
  • la comparaison ;
  • le théorème des gendarmes ;
  • la limite d'une composée ;
  • l'étude des signes ;
  • la monotonie.

5. Branches infinies

  • Si :
$$ f(x)\to\ell, $$

alors \(y=\ell\) est une asymptote horizontale.

  • Si :
$$ f(x)\to\pm\infty \quad\text{lorsque}\quad x\to a, $$

alors \(x=a\) est une asymptote verticale.

  • Si :
$$ f(x)-(ax+b)\to0, $$

alors \(y=ax+b\) est une asymptote oblique.

Pour une étude plus générale à l'infini, on calcule d'abord :

$$ \frac{f(x)}x. $$

6. Continuité

La fonction \(f\) est continue en \(a\) lorsque :

$$ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). $$

Une fonction peut posséder une limite en \(a\) sans être définie ou continue en \(a\).

Lorsqu'une limite finie existe en un point où la fonction n'est pas définie, un prolongement par continuité peut être possible.

7. Théorème des valeurs intermédiaires

Si \(f\) est continue sur \([a,b]\), alors elle prend toutes les valeurs comprises entre \(f(a)\) et \(f(b)\).

En particulier, si :

$$ f(a)f(b)<0, $$

alors l'équation :

$$ f(x)=0 $$

admet au moins une solution dans \(]a,b[\).

Si \(f\) est en plus strictement monotone, cette solution est unique.

8. Méthode de rédaction

Une solution complète doit toujours préciser :

  1. le domaine de définition ;
  2. la forme obtenue ;
  3. la transformation utilisée ;
  4. le calcul de la limite ;
  5. l'interprétation graphique ou la conclusion sur la continuité.

9. Erreurs fréquentes

  • confondre \(f(a)\) et \(\lim_{x\to a}f(x)\) ;
  • conclure directement à partir d'une forme indéterminée ;
  • oublier d'étudier séparément la gauche et la droite ;
  • annoncer une asymptote sans écrire la limite justificative ;
  • utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sans vérifier la continuité ;
  • affirmer l'unicité d'une solution sans justifier la stricte monotonie.
Pont vers l'Université

À l'Université, la limite sera définie rigoureusement à l'aide des quantificateurs \(\varepsilon\) et \(\delta\).

Dire que :

$$ \lim_{x\to a}f(x)=\ell $$

signifiera que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(\delta>0\) tel que :

$$ 0<|x-a|<\delta $$

implique :

$$ |f(x)-\ell|<\varepsilon. $$

Cette définition formalise l'idée suivante : on peut rendre \(f(x)\) aussi proche que souhaité de \(\ell\) en choisissant \(x\) suffisamment proche de \(a\).