Télécharger le chapitre PDF
Chapitre 2.1
2. Analyse

Fonctions : généralités

Idée intuitive

Une fonction est une règle qui associe à chaque valeur autorisée de la variable une unique valeur appelée image.

Avant d'étudier les limites, la continuité ou la dérivée d'une fonction, il faut savoir déterminer son domaine, calculer des images, rechercher des antécédents et lire sa représentation graphique.

“

Une fonction n'est pas seulement une formule : elle est définie par un domaine, une règle de correspondance et un ensemble de valeurs obtenues.

Notion de fonction

Définition

Soient \(D\) et \(E\) deux ensembles.

Une fonction \(f\) définie sur \(D\) et à valeurs dans \(E\) associe à chaque élément \(x\in D\) un unique élément de \(E\), noté \(f(x)\).

On écrit :

$$ f:D\longrightarrow E $$

et :

$$ x\longmapsto f(x). $$

L'ensemble \(D\) est appelé ensemble de définition de la fonction.

La valeur \(f(x)\) est appelée image de \(x\) par \(f\).

Lorsqu'un réel \(y\) vérifie :

$$ f(x)=y, $$

on dit que \(x\) est un antécédent de \(y\) par \(f\).

Point d'attention

Une valeur de \(x\) possède au plus une image par une fonction.

En revanche, une même valeur peut posséder plusieurs antécédents.

Ensemble de définition

L'ensemble de définition contient toutes les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'expression \(f(x)\) a un sens.

Déterminer l'ensemble de définition

Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction :

  1. repérer les dénominateurs et imposer qu'ils soient non nuls ;
  2. repérer les racines carrées et imposer que leurs contenus soient positifs ou nuls ;
  3. repérer les logarithmes et imposer que leurs arguments soient strictement positifs ;
  4. intersecter toutes les conditions obtenues.
Exemple commenté

Déterminer l'ensemble de définition de :

$$ f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}. $$
Corrigé

La racine carrée impose :

$$ x-1\geq 0, $$

donc :

$$ x\geq 1. $$

Le dénominateur impose :

$$ x-3\neq 0, $$

donc :

$$ x\neq 3. $$

Finalement :

$$ D_f=[1,+\infty[\setminus\{3\}. $$

Images et antécédents

Considérons la fonction :

$$ f(x)=x^2-1. $$

L'image de \(2\) est :

$$ f(2)=2^2-1=3. $$

Pour rechercher les antécédents de \(3\), on résout :

$$ x^2-1=3. $$

Ainsi :

$$ x^2=4, $$

donc :

$$ x=-2 \quad\text{ou}\quad x=2. $$

Le nombre \(3\) possède donc deux antécédents par \(f\).

Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction \(f\) est l'ensemble des points du plan de coordonnées :

$$ (x,f(x)), $$

pour toutes les valeurs \(x\) appartenant à son domaine.

Elle est généralement notée :

$$ \mathcal{C}_f. $$
Lire une image sur un graphique

Pour lire l'image d'un réel \(a\) :

  1. partir de \(a\) sur l'axe des abscisses ;
  2. tracer mentalement une verticale jusqu'à la courbe ;
  3. lire l'ordonnée du point obtenu.

Cette ordonnée est \(f(a)\).

Lire les antécédents sur un graphique

Pour rechercher les antécédents d'un réel \(b\) :

  1. partir de \(b\) sur l'axe des ordonnées ;
  2. tracer mentalement la droite horizontale d'équation \(y=b\) ;
  3. relever les abscisses des points d'intersection avec la courbe.

Égalité de deux fonctions

Définition

Deux fonctions \(f\) et \(g\) sont égales lorsqu'elles possèdent :

  • le même ensemble de définition ;
  • la même image pour chaque valeur de cet ensemble.

On écrit alors :

$$ f=g. $$
Point d'attention

Deux expressions peuvent être égales sur une partie de leur domaine sans définir la même fonction.

Par exemple :

$$ \frac{x^2-1}{x-1}=x+1 $$

pour \(x\neq 1\), mais la première expression n'est pas définie en \(1\), contrairement à la seconde.

Opérations sur les fonctions

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions.

On peut définir, lorsque les expressions ont un sens :

$$ (f+g)(x)=f(x)+g(x), $$
$$ (f-g)(x)=f(x)-g(x), $$
$$ (fg)(x)=f(x)g(x), $$

et :

$$ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}, $$

à condition que :

$$ g(x)\neq 0. $$

Composition de fonctions

Définition

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions.

La fonction composée de \(f\) suivie de \(g\) est notée :

$$ g\circ f. $$

Elle est définie par :

$$ (g\circ f)(x)=g(f(x)). $$
Exemple commenté

Soient :

$$ f(x)=2x+1 $$

et :

$$ g(x)=x^2. $$

Alors :

$$ (g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1)^2. $$

En revanche :

$$ (f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2+1. $$
Point d'attention

En général :

$$ g\circ f\neq f\circ g. $$

L'ordre de composition est donc important.

Parité d'une fonction

Définition

Une fonction \(f\) est paire lorsque son domaine est symétrique par rapport à \(0\) et que :

$$ f(-x)=f(x) $$

pour tout \(x\) de son domaine.

Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Définition

Une fonction \(f\) est impaire lorsque son domaine est symétrique par rapport à \(0\) et que :

$$ f(-x)=-f(x) $$

pour tout \(x\) de son domaine.

Sa courbe est alors symétrique par rapport à l'origine du repère.

Sens de variation

Définition

Une fonction \(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) lorsque, pour tous \(x_1,x_2\in I\) :

$$ x_1\leq x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\leq f(x_2). $$
Définition

Une fonction \(f\) est décroissante sur un intervalle \(I\) lorsque, pour tous \(x_1,x_2\in I\) :

$$ x_1\leq x_2 \quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\geq f(x_2). $$

L'étude du sens de variation sera approfondie dans le chapitre sur la dérivation.

Exercices d'entraînement

Exercice

Déterminer un ensemble de définition

Application EntraînementDifficulté 1/5Corrigé complet
fonctionsdomainefraction

Déterminer l'ensemble de définition de :

$$ f(x)=\frac{2x+1}{x^2-4}. $$
Exercice

Calculer des images et des antécédents

Application EntraînementDifficulté 2/5Corrigé complet
fonctionsimagesantécédentséquation

Soit :

$$ f(x)=x^2-4x+3. $$
  1. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(3)\).
  2. Déterminer les antécédents de \(0\).
  3. Déterminer les antécédents de \(3\).
Exercice

Composer deux fonctions

Méthode EntraînementDifficulté 2/5Corrigé complet
fonctionscompositioncalcul

Soient :

$$ f(x)=2x-1 $$

et :

$$ g(x)=x^2+1. $$
  1. Calculer \((g\circ f)(x)\).
  2. Calculer \((f\circ g)(x)\).
  3. Comparer les deux fonctions obtenues.
Synthèse

Pour étudier une fonction, il faut toujours commencer par :

  1. déterminer son ensemble de définition ;
  2. identifier la nature de son expression ;
  3. calculer quelques images ;
  4. rechercher, si nécessaire, des antécédents ;
  5. observer sa représentation graphique ;
  6. étudier ses propriétés particulières : parité, variations et composition.
Pont vers l'Université

À l'Université, une fonction sera considérée comme un triplet formé d'un ensemble de départ, d'un ensemble d'arrivée et d'une relation associant à chaque élément de départ un unique élément d'arrivée.

La distinction entre fonction injective, surjective et bijective deviendra centrale, notamment pour définir les fonctions réciproques.