Chapitre 2.3

2. ANALYSE

Dérivation et étude de fonctions

“

Dériver une fonction, c'est mesurer la manière dont elle varie instantanément.

La dérivation permet de répondre à des questions fondamentales :

une fonction est-elle croissante ou décroissante ?
à quelle vitesse varie-t-elle ?
sa courbe possède-t-elle une tangente en un point ?
où atteint-elle un maximum ou un minimum ?
comment réaliser une étude complète de ses variations ?

Ce chapitre s'appuie sur les notions de fonction, de limite et de continuité étudiées précédemment.

Parcours conseillé

Pour travailler efficacement ce chapitre :

comprendre le taux d'accroissement ;
interpréter géométriquement le nombre dérivé ;
maîtriser les formules de dérivation ;
apprendre à dériver une fonction composée ;
étudier le signe de la dérivée ;
construire le tableau de variations ;
traiter les exercices avant de consulter les indices.

De la vitesse moyenne à la vitesse instantanée

Considérons une grandeur \(f(x)\) qui dépend d'une variable \(x\).

Entre deux valeurs \(a\) et \(a+h\), la variation de la fonction est :

$$ f(a+h)-f(a). $$

La variation de la variable est :

$$ (a+h)-a=h. $$

Le quotient :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

mesure donc la variation moyenne de \(f\) par unité de variation de \(x\).

Taux d'accroissement

Soient \(a\) et \(a+h\) deux nombres appartenant au domaine de définition de \(f\), avec \(h\neq0\).

Le nombre :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

est appelé taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\).

Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=x^2. $$

Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(2\) et \(2+h\) vaut :

\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.

Or :

$$ f(2+h)=(2+h)^2=4+4h+h^2. $$

Ainsi :

\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{4+4h+h^2-4}{h}.

Pour \(h\neq0\) :

\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = 4+h.

Lorsque \(h\) se rapproche de \(0\), ce taux d'accroissement se rapproche de \(4\).

Nombre dérivé en un point

Définition

Soit \(f\) une fonction définie au voisinage d'un réel \(a\).

La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque la limite suivante existe et est finie :

\lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Cette limite est appelée nombre dérivé de \(f\) en \(a\) et se note :

$$ f'(a). $$

On peut également écrire :

f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

Les deux expressions sont équivalentes en posant :

$$ h=x-a. $$

Point d'attention

Le nombre dérivé \(f'(a)\) est un nombre.

La fonction dérivée \(f'\) est une fonction qui associe à chaque réel \(x\), lorsque cela est possible, le nombre dérivé \(f'(x)\).

Interprétation géométrique

Soient :

$$ A(a,f(a)) $$

et :

$$ M(a+h,f(a+h)) $$

deux points de la courbe représentative de \(f\).

Le coefficient directeur de la droite \((AM)\) vaut :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Lorsque \(h\) tend vers \(0\), le point \(M\) se rapproche du point \(A\).

La droite sécante \((AM)\) se rapproche alors d'une position limite : la tangente à la courbe au point \(A\).

Propriété

Lorsque \(f\) est dérivable en \(a\), le nombre dérivé :

$$ f'(a) $$

est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\).

Des droites sécantes se rapprochent progressivement de la tangente à une courbe au point d'abscisse a. — Lorsque le second point de la sécante se rapproche du point \(A\), le coefficient directeur de la sécante tend vers \(f'(a)\).

Équation de la tangente

Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente à la courbe de \(f\) au point :

$$ A(a,f(a)) $$

a pour équation :

$$ y=f'(a)(x-a)+f(a). $$

Cette équation peut également s'écrire :

$$ y=f'(a)x+f(a)-af'(a). $$

Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=x^2 $$

et cherchons l'équation de la tangente au point d'abscisse \(2\).

On a :

$$ f'(x)=2x. $$

Donc :

$$ f'(2)=4 $$

et :

$$ f(2)=4. $$

L'équation de la tangente est :

$$ y=4(x-2)+4. $$

Ainsi :

$$ y=4x-4. $$

Déterminer l'équation d'une tangente

Pour déterminer la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) :

calculer \(f(a)\) ;
déterminer la fonction dérivée \(f'\) ;
calculer \(f'(a)\) ;
utiliser :

$$ y=f'(a)(x-a)+f(a); $$

développer l'expression si nécessaire.

Approximation affine locale

Au voisinage d'un point \(a\), une fonction dérivable peut être approchée par sa tangente.

Propriété

Lorsque \(x\) est proche de \(a\) :

f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a).

Cette relation est appelée approximation affine locale de \(f\) au voisinage de \(a\).

Exemple commenté

Approchons :

\sqrt{4{,}04}.

Considérons :

f(x)=\sqrt{x}.

On choisit :

$$ a=4. $$

On a :

$$ f(4)=2 $$

et :

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Donc :

f'(4)=\frac14.

Comme :

$$ 4{,}04=4+0{,}04, $$

on obtient :

\sqrt{4{,}04} \approx 2+\frac14\times0{,}04.

Ainsi :

\sqrt{4{,}04}\approx2{,}01.

Point d'attention

Une approximation affine est pertinente lorsque \(x\) est suffisamment proche du point \(a\).

Elle ne remplace pas une égalité exacte.

Dérivabilité et continuité

Théorème

Si une fonction est dérivable en un réel \(a\), alors elle est continue en \(a\).

La réciproque est fausse : une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable.

Exemple commenté

La fonction :

$$ f(x)=|x| $$

est continue en \(0\).

Cependant :

\lim_{h\to0^-} \frac{|h|-|0|}{h} = -1

et :

\lim_{h\to0^+} \frac{|h|-|0|}{h} = 1.

Les deux limites latérales étant différentes, la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en \(0\).

Graphiquement, sa courbe possède un point anguleux à l'origine.

Point d'attention

La dérivabilité implique la continuité, mais la continuité n'implique pas nécessairement la dérivabilité.

Fonction dérivée

Définition

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).

La fonction qui, à tout réel \(x\in I\), associe le nombre dérivé \(f'(x)\) est appelée fonction dérivée de \(f\).

L'étude de \(f'\) permet de décrire les variations de \(f\).

Dérivées des fonctions usuelles

Formules de référence

Sur leurs domaines de dérivabilité :

$$ (k)'=0 $$

pour toute constante \(k\).

$$ (x)'=1. $$

Pour tout entier naturel \(n\geq1\) :

(x^n)'=nx^{n-1}.

Pour \(x\neq0\) :

\left(\frac1x\right)' = -\frac1{x^2}.

Pour \(x>0\) :

(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Exemple commenté

Si :

$$ f(x)=x^5, $$

alors :

$$ f'(x)=5x^4. $$

Si :

g(x)=\frac1x,

alors :

g'(x)=-\frac1{x^2}.

Règles de calcul

Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables.

Somme et multiplication par une constante

On a :

$$ (u+v)'=u'+v'. $$

Pour toute constante réelle \(k\) :

$$ (ku)'=ku'. $$

Produit

On a :

$$ (uv)'=u'v+uv'. $$

Quotient

Lorsque \(v(x)\neq0\) :

\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}.

Inverse

Lorsque \(u(x)\neq0\) :

\left(\frac1u\right)' = -\frac{u'}{u^2}.

Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=(x^2+1)(3x-2). $$

Posons :

$$ u(x)=x^2+1 $$

et :

$$ v(x)=3x-2. $$

On a :

$$ u'(x)=2x $$

et :

$$ v'(x)=3. $$

Ainsi :

$$ f'(x) = 2x(3x-2)+3(x^2+1). $$

Après développement :

$$ f'(x)=9x^2-4x+3. $$

Dérivée d'un produit

En général :

(uv)'\neq u'v'.

La formule correcte est :

$$ (uv)'=u'v+uv'. $$

Dérivée d'une fonction composée

Une fonction composée est une fonction dans laquelle une expression dépend elle-même d'une autre expression.

Par exemple :

$$ f(x)=(3x-1)^5. $$

La fonction extérieure est la puissance cinquième, tandis que la fonction intérieure est :

$$ u(x)=3x-1. $$

Dérivée d'une composée

Si \(u\) est dérivable et si \(g\) est dérivable sur un intervalle contenant les valeurs de \(u\), alors :

(g\circ u)'(x) = u'(x)g'(u(x)).

On écrit souvent :

$$ (g(u(x)))' = u'(x)g'(u(x)). $$

Puissance d'une fonction

Pour tout entier naturel \(n\geq1\) :

(u^n)'=nu'u^{n-1}.

Racine carrée d'une fonction

Lorsque \(u(x)>0\) :

(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}.

Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=(3x-1)^5. $$

On pose :

$$ u(x)=3x-1. $$

Alors :

$$ u'(x)=3. $$

Donc :

$$ f'(x) = 5u'(x)u(x)^4. $$

Ainsi :

$$ f'(x) = 15(3x-1)^4. $$

Dériver une fonction composée

Pour dériver une composée :

repérer la fonction intérieure \(u(x)\) ;
repérer la fonction extérieure ;
dériver la fonction extérieure en conservant \(u(x)\) ;
multiplier par \(u'(x)\) ;
simplifier le résultat.

Dérivées des fonctions trigonométriques

Les fonctions sinus et cosinus jouent un rôle important en analyse.

La maîtrise du cercle trigonométrique et des valeurs remarquables sera renforcée dans le chapitre :

Trigonométrie : angles, cercle et fonctions.

Propriété

Pour tout réel \(x\) :

(\sin x)'=\cos x

et :

(\cos x)'=-\sin x.

Sur tout intervalle où la fonction tangente est définie :

(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}.

Composées trigonométriques

Si \(u\) est dérivable :

(\sin u)'=u'\cos u

et :

(\cos u)'=-u'\sin u.

Exemple commenté

Considérons :

f(x)=\sin(3x+1).

On pose :

$$ u(x)=3x+1. $$

Donc :

$$ u'(x)=3. $$

Ainsi :

f'(x)=3\cos(3x+1).

Piège fréquent

La dérivée de :

\cos u(x)

est :

-u'(x)\sin u(x).

Il ne faut pas oublier le signe négatif.

Signe de la dérivée et variations

Le signe de \(f'(x)\) permet de déterminer le sens de variation de \(f\).

Lien entre dérivée et variations

Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\).

Si :

$$ f'(x)>0 $$

sur \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

Si :

$$ f'(x)<0 $$

sur \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).

Si :

$$ f'(x)=0 $$

sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).

Correspondance entre le signe de la dérivée et les variations d'une fonction. — Une dérivée positive correspond à une courbe qui monte ; une dérivée négative correspond à une courbe qui descend.

Point d'attention

La condition :

$$ f'(a)=0 $$

ne suffit pas, à elle seule, pour conclure que \(f\) possède un extremum en \(a\).

Il faut étudier le signe de \(f'\) de part et d'autre de \(a\).

Extrema locaux

Définition

La fonction \(f\) possède un maximum local en \(a\) lorsque les valeurs de \(f(x)\), pour \(x\) proche de \(a\), sont inférieures ou égales à \(f(a)\).

Elle possède un minimum local en \(a\) lorsque les valeurs de \(f(x)\), pour \(x\) proche de \(a\), sont supérieures ou égales à \(f(a)\).

Changement de signe de la dérivée

Si \(f'\) passe du signe positif au signe négatif en \(a\), alors \(f\) possède un maximum local en \(a\).

Si \(f'\) passe du signe négatif au signe positif en \(a\), alors \(f\) possède un minimum local en \(a\).

Courbes montrant un maximum local, un minimum local et des tangentes horizontales. — Lorsqu'une fonction dérivable possède un extremum local en un point intérieur de son domaine, la tangente y est généralement horizontale.

Exemple commenté

Considérons :

$$ f(x)=x^2-4x+5. $$

On a :

$$ f'(x)=2x-4. $$

Donc :

f'(x)=0 \iff x=2.

si \(x<2\), alors \(f'(x)<0\) ;
si \(x>2\), alors \(f'(x)>0\).

La fonction est donc décroissante puis croissante.

Elle possède un minimum en :

$$ x=2. $$

Sa valeur minimale est :

$$ f(2)=1. $$

Construire un tableau de variations

Étudier les variations d'une fonction

Pour étudier les variations de \(f\) :

déterminer son domaine de définition ;
calculer \(f'(x)\) ;
résoudre :

$$ f'(x)=0; $$

étudier le signe de \(f'(x)\) ;
en déduire le sens de variation de \(f\) ;
calculer les valeurs de \(f\) aux points remarquables ;
déterminer les limites aux bornes du domaine ;
construire le tableau de variations.

Exemple commenté

Étudions :

$$ f(x)=x^3-3x. $$

La fonction est définie sur :

\mathbb{R}.

Sa dérivée est :

$$ f'(x)=3x^2-3. $$

On factorise :

$$ f'(x)=3(x-1)(x+1). $$

Ainsi :

f'(x)=0 \iff x=-1 \quad\text{ou}\quad x=1.

Le signe de \(f'\) est :

positif sur \(]-\infty,-1[\) ;
négatif sur \(]-1,1[\) ;
positif sur \(]1,+\infty[\).

On calcule :

$$ f(-1)=2 $$

et :

$$ f(1)=-2. $$

La fonction :

est croissante sur \(]-\infty,-1]\) ;
est décroissante sur \([-1,1]\) ;
est croissante sur \([1,+\infty[\).

Elle possède un maximum local égal à \(2\) en \(-1\) et un minimum local égal à \(-2\) en \(1\).

Étude complète d'une fonction

L'étude complète d'une fonction rassemble les outils acquis dans les chapitres sur les fonctions, les limites et la dérivation.

Plan d'étude d'une fonction

1. Domaine de définition

Déterminer les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'expression a un sens.

2. Simplifications et propriétés particulières

Rechercher éventuellement :

la parité ;
la périodicité ;
une factorisation ;
une décomposition utile.

3. Limites

Calculer les limites :

aux bornes du domaine ;
en \(+\infty\) ;
en \(-\infty\) ;
au voisinage des valeurs interdites.

4. Asymptotes

Rechercher les asymptotes :

verticales ;
horizontales ;
obliques.

5. Dérivée

Calculer et simplifier \(f'(x)\).

6. Signe de la dérivée

Résoudre \(f'(x)=0\), puis construire son tableau de signes.

7. Variations

Déduire le tableau de variations de \(f\).

8. Points remarquables

Déterminer :

les extrema ;
les intersections avec les axes ;
les tangentes demandées ;
la position relative par rapport aux asymptotes.

9. Représentation graphique

Tracer une courbe cohérente avec l'ensemble des résultats obtenus.

Rédaction d'une étude de fonction

Une étude de fonction ne doit pas être une suite de calculs isolés.

Chaque résultat doit être interprété :

une limite infinie peut indiquer une asymptote verticale ;
une limite finie à l'infini peut indiquer une asymptote horizontale ;
le signe de \(f'\) détermine les variations ;
un changement de signe de \(f'\) peut révéler un extremum.

Exercices d'application

Exercice

Nombre dérivé à partir de la définition

Application EntraînementDifficulté 2/5Corrigé complet

nombre dérivétangente

Soit :

$$ f(x)=x^2. $$

Calculer :

\frac{f(3+h)-f(3)}{h}.

En déduire \(f'(3)\).
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(3\).

Exercice

Dériver des fonctions usuelles

Application EntraînementDifficulté 2/5Corrigé complet

formulesdérivation

Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

\(f(x)=4x^5-3x^2+7x-1\) ;
\(g(x)=\dfrac{2}{x}\) ;
\(h(x)=\sqrt{x}+x^3\).

Exercice

Produit et quotient

Application EntraînementDifficulté 3/5Corrigé complet

produitquotient

Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

\(f(x)=(x^2+1)(2x-3)\) ;
\(g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).

Exercices de méthode

Exercice

Dériver une composée

Méthode EntraînementDifficulté 3/5Corrigé complet

composéeracine

Soit :

f(x)=\sqrt{2x^2+3}.

Déterminer le domaine de définition de \(f\).
Calculer \(f'(x)\).

Exercice

Tangente et approximation affine

Méthode EntraînementDifficulté 3/5Corrigé complet

tangenteapproximation

Soit :

f(x)=\frac1x.

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\).
En déduire une approximation de :

\frac{1}{1{,}02}.

Exercice

Étudier les variations d'un polynôme

Méthode EntraînementDifficulté 4/5Corrigé complet

variationsextrema

Soit :

$$ f(x)=x^3-3x^2-9x+1. $$

Calculer \(f'(x)\).
Factoriser \(f'(x)\).
Étudier le signe de \(f'(x)\).
Dresser le tableau de variations de \(f\).
Déterminer les extrema locaux.

Problème guidé

Exercice

Étude de la fonction \(x+\frac4x\)

Problème de synthèse EntraînementDifficulté 4/5Corrigé complet

étude de fonctionvariationstangenteinégalité

On considère la fonction :

f(x)=x+\frac4x

définie sur :

]0,+\infty[.

Partie A — Variations

Calculer \(f'(x)\).
Montrer que :

f'(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}.

Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0,+\infty[\).
Dresser le tableau de variations de \(f\).

Partie B — Minimum

Déterminer la valeur minimale de \(f\).
En déduire que, pour tout \(x>0\) :

x+\frac4x\geq4.

Partie C — Tangente

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(2\).

Fiche de synthèse — Dérivation et étude de fonctions

1. Taux d'accroissement

Entre \(a\) et \(a+h\), le taux d'accroissement de \(f\) est :

\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Il représente une variation moyenne.

2. Nombre dérivé

La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque la limite suivante existe et est finie :

f'(a) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Le nombre \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse \(a\).

3. Tangente

L'équation de la tangente en \(a\) est :

$$ y=f'(a)(x-a)+f(a). $$

4. Approximation affine

Lorsque \(x\) est proche de \(a\) :

f(x) \approx f(a)+f'(a)(x-a).

5. Formules usuelles

(x^n)'=nx^{n-1},

\left(\frac1x\right)' = -\frac1{x^2},

(\sqrt{x})' = \frac1{2\sqrt{x}},

(\sin x)'=\cos x,

(\cos x)'=-\sin x.

6. Opérations

$$ (u+v)'=u'+v', $$

$$ (uv)'=u'v+uv', $$

\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}.

7. Fonctions composées

(g\circ u)'(x) = u'(x)g'(u(x)).

En particulier :

(u^n)'=nu'u^{n-1}

et :

(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}.

8. Variations

si \(f'>0\), alors \(f\) est croissante ;
si \(f'<0\), alors \(f\) est décroissante ;
si \(f'\) change de signe, la fonction peut présenter un extremum.

9. Extrema

passage de \(+\) à \(-\) : maximum local ;
passage de \(-\) à \(+\) : minimum local.

La seule égalité :

$$ f'(a)=0 $$

ne suffit pas pour conclure.

10. Étude de fonction

Une étude complète comprend généralement :

le domaine ;
les limites ;
les asymptotes ;
la dérivée ;
le signe de la dérivée ;
les variations ;
les extrema ;
les points et tangentes remarquables ;
la représentation graphique.

11. Erreurs fréquentes

confondre \(f'(a)\) et \(f(a)\) ;
oublier la dérivée de la fonction intérieure ;
écrire \((uv)'=u'v'\) ;
oublier le signe négatif dans la dérivée du cosinus ;
déduire un extremum de la seule égalité \(f'(a)=0\) ;
construire un tableau de variations sans justifier le signe de \(f'\).

Pont vers l'Université — Dérivée et approximation locale

Au lycée, la dérivée est souvent présentée comme :

un coefficient directeur ;
un outil d'étude des variations ;
une vitesse instantanée.

À l'Université, elle est également interprétée comme la meilleure approximation linéaire locale de la fonction.

Dire que \(f\) est dérivable en \(a\) signifie qu'il existe un réel \(f'(a)\) tel que :

$$ f(a+h) = f(a)+f'(a)h+o(h) $$

lorsque :

h\to0.

Le terme :

$$ o(h) $$

désigne une erreur négligeable devant \(h\).

Autrement dit :

\frac{o(h)}{h}\to0.

Cette écriture explique rigoureusement pourquoi la tangente constitue une bonne approximation de la courbe au voisinage du point étudié.

Elle prépare notamment :

les développements limités ;
le calcul différentiel ;
les méthodes numériques ;
l'optimisation ;
les équations différentielles.