Trigonométrie : angles, cercle et fonctions
La trigonométrie intervient dans de nombreux chapitres de Terminale :
- limites et dérivation ;
- nombres complexes ;
- géométrie ;
- phénomènes périodiques ;
- équations différentielles ;
- physique et sciences de l’ingénieur.
Ce chapitre reprend les bases indispensables et les organise autour d’une idée centrale :
“À tout angle réel \(x\), on associe un point du cercle trigonométrique dont les coordonnées sont \((\cos x,\sin x)\).
Les difficultés en trigonométrie viennent rarement d’une formule isolée. Elles proviennent plus souvent d’un manque de lien entre :
- la mesure d’un angle ;
- sa position sur le cercle ;
- les signes de son cosinus et de son sinus ;
- les valeurs remarquables ;
- les équations trigonométriques ;
- les courbes des fonctions sinus et cosinus.
L’objectif de ce chapitre est donc de construire une vision cohérente, visuelle et opérationnelle.
Mesure des angles
Degrés et radians
Le degré et le radian sont deux unités de mesure des angles.
Un angle au centre mesure \(1\) radian lorsqu’il intercepte sur un cercle un arc dont la longueur est égale au rayon du cercle.
Un tour complet correspond à :
\[ 360^\circ = 2\pi \text{ radians}. \]
On en déduit :
\[ 180^\circ = \pi \text{ radians}. \]
Pour convertir un angle \(\alpha\) exprimé en degrés en radians :
\[ \alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}. \]
Pour convertir un angle \(x\) exprimé en radians en degrés :
\[ x_{\text{deg}} = x_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}. \]
\[ 60^\circ = 60\times\frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}. \]
\[ 135^\circ = 135\times\frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}. \]
\[ \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\times\frac{180}{\pi} = 150^\circ. \]
Angles orientés
Dans le plan orienté :
- le sens inverse des aiguilles d’une montre est le sens positif ;
- le sens des aiguilles d’une montre est le sens négatif.
Deux angles qui diffèrent d’un nombre entier de tours conduisent à la même position sur le cercle.
Les angles
\[ x \quad\text{et}\quad x+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z, \]
repèrent le même point sur le cercle trigonométrique.
Les angles
\[ \frac{\pi}{3}, \qquad \frac{7\pi}{3}, \qquad -\frac{5\pi}{3} \]
repèrent le même point, car :
\[ \frac{7\pi}{3} = \frac{\pi}{3}+2\pi \]
et
\[ -\frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{3}-2\pi. \]
Réduction d’un angle modulo \(2\pi\)
Réduire un angle modulo \(2\pi\), c’est lui soustraire ou lui ajouter un nombre entier de tours afin d’obtenir une mesure plus simple.
Pour réduire un angle \(x\) :
- chercher un entier \(k\) tel que \(x-2k\pi\) appartienne à un intervalle simple ;
- effectuer la soustraction ;
- utiliser l’angle obtenu pour lire le point sur le cercle.
On utilise généralement l’un des intervalles :
\[ [0,2\pi[ \]
ou
\[ ]-\pi,\pi]. \]
Réduisons :
\[ \frac{17\pi}{6}. \]
Comme :
\[ 2\pi=\frac{12\pi}{6}, \]
on obtient :
\[ \frac{17\pi}{6}-\frac{12\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}. \]
Ainsi :
\[ \frac{17\pi}{6} \equiv \frac{5\pi}{6} \pmod{2\pi}. \]
Réduisons :
\[ -\frac{11\pi}{4}. \]
On ajoute \(2\pi=\frac{8\pi}{4}\) :
\[ -\frac{11\pi}{4}+\frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}. \]
Dans l’intervalle \([0,2\pi[\), on ajoute encore \(2\pi\) :
\[ -\frac{3\pi}{4}+\frac{8\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}. \]
Donc :
\[ -\frac{11\pi}{4} \equiv \frac{5\pi}{4} \pmod{2\pi}. \]
Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est le cercle :
- de centre \(O\) ;
- de rayon \(1\) ;
- orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre ;
- muni du point de départ \(I(1,0)\).
À tout réel \(x\), on associe un point \(M\) du cercle trigonométrique.
Si le point \(M\) associé à l’angle \(x\) a pour coordonnées :
\[ M(a,b), \]
alors :
\[ a=\cos x \qquad\text{et}\qquad b=\sin x. \]
Ainsi :
\[ M(\cos x,\sin x). \]
Le cercle trigonométrique permet de lire simultanément les angles en degrés et en radians, les coordonnées, les valeurs remarquables et les signes du sinus et du cosinus.
Signes de \(\cos x\) et \(\sin x\)
Le signe du cosinus dépend de l’abscisse du point.
Le signe du sinus dépend de son ordonnée.
Quadrant | Intervalle | \(\cos x\) | \(\sin x\) |
|---|---|---|---|
I | \(0<x<\frac{\pi}{2}\) | \(+\) | \(+\) |
II | \(\frac{\pi}{2}<x<\pi\) | \(-\) | \(+\) |
III | \(\pi<x<\frac{3\pi}{2}\) | \(-\) | \(-\) |
IV | \(\frac{3\pi}{2}<x<2\pi\) | \(+\) | \(-\) |
Il est plus sûr de les retrouver sur le cercle :
- à droite, le cosinus est positif ;
- à gauche, le cosinus est négatif ;
- en haut, le sinus est positif ;
- en bas, le sinus est négatif.
Valeurs remarquables
Les angles fondamentaux du premier quadrant sont :
\[ 0, \qquad \frac{\pi}{6}, \qquad \frac{\pi}{4}, \qquad \frac{\pi}{3}, \qquad \frac{\pi}{2}. \]
\(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
\(\cos x\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
\(\sin x\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
Pour les angles :
\[ 0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}, \]
les valeurs du sinus s’écrivent :
\[ \frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}. \]
Pour le cosinus, on les lit dans l’ordre inverse.
On préfère écrire :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12 \]
plutôt que :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=0{,}5. \]
De même :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2} \]
est une valeur exacte.
Angles associés et symétries
Les symétries du cercle permettent de retrouver de nombreuses valeurs sans apprendre un grand tableau.
Opposé d’un angle
Pour tout réel \(x\) :
\[ \cos(-x)=\cos x \]
et
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.
Supplémentaire
Pour tout réel \(x\) :
\[ \cos(\pi-x)=-\cos x \]
et
\[ \sin(\pi-x)=\sin x. \]
Ajout de \(\pi\)
Pour tout réel \(x\) :
\[ \cos(\pi+x)=-\cos x \]
et
\[ \sin(\pi+x)=-\sin x. \]
Complémentaire
Pour tout réel \(x\) :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x \]
et
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \]
Calculons :
\[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right). \]
Or :
\[ \frac{5\pi}{6} = \pi-\frac{\pi}{6}. \]
Donc :
\[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt3}{2}. \]
Identités trigonométriques
Pour tout réel \(x\) :
\[ \cos^2 x+\sin^2 x=1. \]
Cette relation découle de l’équation du cercle unité :
\[ X^2+Y^2=1. \]
Comme :
\[ X=\cos x \qquad\text{et}\qquad Y=\sin x, \]
on obtient :
\[ \cos^2 x+\sin^2 x=1. \]
Tangente
Lorsque \(\cos x\neq 0\), on définit :
\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}. \]
La tangente n’est donc pas définie pour :
\[ x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Lorsque \(\cos x\neq 0\) :
\[ 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}. \]
Formules d’addition
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b, \]
\[ \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b, \]
\[ \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b, \]
\[ \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b. \]
Angles doubles
En prenant \(a=b=x\), on obtient :
\[ \sin(2x)=2\sin x\cos x, \]
\[ \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x, \]
\[ \cos(2x)=2\cos^2 x-1, \]
\[ \cos(2x)=1-2\sin^2 x. \]
Comme :
\[ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}, \]
on utilise :
\[ \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b. \]
Ainsi :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt2}{2}\times\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\times\frac12. \]
Donc :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \]
Résolution d’équations trigonométriques
Équation \(\cos x=\cos a\)
\[ \cos x=\cos a \]
si et seulement si :
\[ x=2k\pi+a \]
ou :
\[ x=2k\pi-a, \qquad k\in\mathbb Z. \]
On peut résumer par :
\[ x=2k\pi\pm a. \]
On sait que :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac12. \]
Donc :
\[ x=2k\pi\pm\frac{\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Équation \(\sin x=\sin a\)
\[ \sin x=\sin a \]
si et seulement si :
\[ x=a+2k\pi \]
ou :
\[ x=\pi-a+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
On reconnaît :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. \]
Donc :
\[ x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \]
ou :
\[ x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Équation \(\tan x=\tan a\)
\[ \tan x=\tan a \]
si et seulement si :
\[ x=a+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Résolution sur un intervalle
- Résoudre d’abord l’équation dans \(\mathbb R\).
- Écrire les solutions avec \(k\in\mathbb Z\).
- Imposer l’appartenance à l’intervalle demandé.
- Ne conserver que les valeurs admissibles.
Résolvons :
\[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \]
Sur le cercle trigonométrique, le cosinus vaut \(-\frac{\sqrt2}{2}\) pour :
\[ x=\frac{3\pi}{4} \]
et :
\[ x=\frac{5\pi}{4}. \]
Ainsi, sur \([0,2\pi]\) :
\[ S= \left\{ \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right\}. \]
Fonctions sinus et cosinus
Périodicité
Pour tout réel \(x\) :
\[ \cos(x+2\pi)=\cos x \]
et :
\[ \sin(x+2\pi)=\sin x. \]
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \(2\pi\).
Une période est une durée ou une longueur au bout de laquelle un phénomène se reproduit à l’identique.
Parité
La fonction cosinus est paire :
\[ \cos(-x)=\cos x. \]
Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La fonction sinus est impaire :
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
Les courbes mettent en évidence la périodicité, les zéros, les extrema et le décalage entre sinus et cosinus.
Valeurs et extrema
Pour tout réel \(x\) :
\[ -1\leq \cos x\leq 1 \]
et :
\[ -1\leq \sin x\leq 1. \]
Les valeurs maximales et minimales sont :
\[ \max(\cos x)=\max(\sin x)=1, \]
\[ \min(\cos x)=\min(\sin x)=-1. \]
Modéliser un phénomène périodique
De nombreux phénomènes peuvent être modélisés par une fonction de la forme :
\[ f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+m \]
ou :
\[ f(t)=A\cos(\omega t+\varphi)+m. \]
Dans :
\[ f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+m, \]
- \(|A|\) est l’amplitude ;
- \(m\) est la valeur moyenne ;
- \(\varphi\) est la phase initiale ;
- \(\omega\) est la pulsation ;
- la période vaut :
\[ T=\frac{2\pi}{|\omega|}. \]
Considérons :
\[ f(t)=3\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)+8. \]
L’amplitude vaut :
\[ A=3. \]
La valeur moyenne vaut :
\[ m=8. \]
La période vaut :
\[ T = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12. \]
Le phénomène se répète donc toutes les \(12\) unités de temps.
Exercices diagnostiques et progressifs
Exercice diagnostique
Diagnostic des acquis
- Convertir en radians :
\[ 30^\circ,\quad 120^\circ,\quad 225^\circ. \]
- Convertir en degrés :
\[ \frac{\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{4}. \]
- Donner les valeurs exactes de :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right), \quad \sin\left(\frac{\pi}{4}\right), \quad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right). \]
Réduction modulo \(2\pi\)
Réduire des angles
Réduire les angles suivants dans \([0,2\pi[\) :
\[ \frac{19\pi}{6}, \qquad -\frac{13\pi}{4}, \qquad \frac{29\pi}{3}. \]
Valeurs exactes
Calculer des valeurs exactes
Calculer exactement :
\[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right), \]
\[ \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right), \]
\[ \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right), \]
\[ \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right). \]
Identité trigonométrique
Simplifier une expression
Simplifier :
\[ A(x) = \frac{1-\cos^2 x}{\sin x} \]
pour les réels \(x\) tels que \(\sin x\neq 0\).
Équations trigonométriques
Résoudre sur un intervalle
Résoudre dans \([0,2\pi]\) :
1. \[ \cos x=-\frac12; \]
2. \[ \sin x=-\frac{\sqrt2}{2}; \]
3. \[ \tan x=1. \]
Formules d’addition
Calculer \(\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)\)
Calculer exactement :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right). \]
Modélisation périodique
Température périodique
La température d’une enceinte thermique est modélisée par :
\[ T(t) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)+22, \]
où \(t\) est exprimé en heures et \(T(t)\) en degrés Celsius.
- Déterminer la température moyenne.
- Déterminer l’amplitude des variations.
- Déterminer la période du phénomène.
- Calculer \(T(0)\).
- Déterminer les températures maximale et minimale.
11. Pont vers l’Université
À l’Université, les fonctions trigonométriques sont étroitement liées à l’exponentielle complexe.
La formule d’Euler établit que :
\[ e^{ix} = \cos x+i\sin x. \]
On en déduit :
\[ \cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \]
et :
\[ \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}. \]
Ces relations permettent :
- de simplifier les calculs trigonométriques ;
- d’étudier les signaux périodiques ;
- de résoudre des équations différentielles ;
- d’introduire les séries de Fourier ;
- d’analyser les circuits électriques alternatifs ;
- de modéliser des ondes.
La trigonométrie n’est donc pas seulement une géométrie des triangles : elle constitue aussi un langage fondamental de l’analyse, de la physique et de l’ingénierie.
Repères essentiels
\[ 180^\circ=\pi \qquad\text{et}\qquad 360^\circ=2\pi. \]
Un point du cercle trigonométrique associé à \(x\) a pour coordonnées :
\[ M(\cos x,\sin x). \]
Relation fondamentale
\[ \cos^2 x+\sin^2 x=1. \]
Périodicité
\[ \cos(x+2\pi)=\cos x, \]
\[ \sin(x+2\pi)=\sin x. \]
Parité
\[ \cos(-x)=\cos x, \]
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Équations usuelles
\[ \cos x=\cos a \iff x=2k\pi\pm a. \]
\[ \sin x=\sin a \iff \begin{cases} x=a+2k\pi,\\ x=\pi-a+2k\pi. \end{cases} \]
\[ \tan x=\tan a \iff x=a+k\pi. \]
Modèle périodique
Pour :
\[ f(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+m, \]
l’amplitude vaut \(|A|\), la moyenne vaut \(m\) et la période vaut :
\[ T=\frac{2\pi}{|\omega|}. \]
Réflexe méthodologique
Pour traiter un angle :
- le réduire modulo \(2\pi\) ;
- identifier l’angle remarquable de référence ;
- repérer le quadrant ;
- déterminer le signe ;
- appliquer la valeur exacte correspondante.