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1. Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies : \[ 7\mid84, \qquad 9\mid145, \qquad 11\mid0, \qquad 6\mid(-42). \] 2. Effectuer les divisions euclidiennes : - de \(173\) par \(15\) ; - de \(-23\) par \(7\).
1. Calculer : \[ \operatorname{pgcd}(252,198). \] 2. Déterminer deux entiers \(u\) et \(v\) tels que : \[ 252u+198v = \operatorname{pgcd}(252,198). \]
Décomposer en facteurs premiers : \[ 756 \qquad\text{et}\qquad 1386. \] En déduire leur PGCD.
Soit \(n\in\mathbb Z\). On suppose que : \[ 35n \] est divisible par \(12\). Démontrer que \(n\) est divisible par \(12\).
Déterminer le chiffre des unités de : \[ 7^{2026}. \]
Résoudre dans \(\mathbb Z\) : \[ 14x\equiv8\pmod{20}. \]
Un service dispose de lots contenant respectivement \(84\) et \(30\) unités. On souhaite résoudre l’équation : \[ 84x+30y=6, \] où \(x\) et \(y\) sont des entiers relatifs. 1. Justifier que l’équation possède des solutions. 2. Déterminer une solution particulière. 3. Déterminer toutes les solutions entières.
Développer et réduire : 1. \[ A(x)=3x(2x-5); \] 2. \[ B(x)=(2x-3)(x+4); \] 3. \[ C(x)=(3x-2)^2; \] 4. \[ D(x)=(5x-1)(5x+1). \]
Factoriser : 1. \[ 8x^2-12x; \] 2. \[ x^2-16; \] 3. \[ 9x^2+12x+4; \] 4. \[ (x+2)(3x-1)-5(x+2). \]
On considère : \[ A(x)=\frac{x^2-4}{x^2+x-6}. \] 1. Déterminer le domaine de définition. 2. Factoriser le numérateur et le dénominateur. 3. Simplifier l’expression.
Résoudre dans \(\mathbb R\) : 1. \[ (3x-2)(x+5)=0; \] 2. \[ \frac{(x-1)(x+4)}{x-3}=0. \]
Résoudre : \[ (2x-3)(x+1)\geq0. \]
Résoudre : \[ \frac{2x+1}{x-4}<0. \]
Résoudre : 1. \[ |2x-3|=5; \] 2. \[ |x+1|<4. \]
Résoudre dans \(\mathbb R\) : \[ x^4-13x^2+36=0. \]
On considère : \[ A(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}. \] 1. Déterminer le domaine de définition. 2. Factoriser le numérateur et le dénominateur. 3. Simplifier l’expression lorsque cela est possible. 4. Résoudre : \[ A(x)=0. \] 5. Résoudre : \[ A(x)>0. \]
Soit : $$ f(x)=x^2. $$ 1. Calculer : $$ \frac{f(3+h)-f(3)}{h}. $$ 2. En déduire \(f'(3)\). 3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(3\).
Déterminer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : 1. \(f(x)=4x^5-3x^2+7x-1\) ; 2. \(g(x)=\dfrac{2}{x}\) ; 3. \(h(x)=\sqrt{x}+x^3\).
Calculer la dérivée des fonctions suivantes : 1. \(f(x)=(x^2+1)(2x-3)\) ; 2. \(g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).
Soit : $$ f(x)=\sqrt{2x^2+3}. $$ 1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). 2. Calculer \(f'(x)\).
Soit : $$ f(x)=\frac1x. $$ 1. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(1\). 2. En déduire une approximation de : $$ \frac{1}{1{,}02}. $$
Soit : $$ f(x)=x^3-3x^2-9x+1. $$ 1. Calculer \(f'(x)\). 2. Factoriser \(f'(x)\). 3. Étudier le signe de \(f'(x)\). 4. Dresser le tableau de variations de \(f\). 5. Déterminer les extrema locaux.
On considère la fonction : $$ f(x)=x+\frac4x $$ définie sur : $$ ]0,+\infty[. $$ ### Partie A — Variations 1. Calculer \(f'(x)\). 2. Montrer que : $$ f'(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}. $$ 3. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(]0,+\infty[\). 4. Dresser le tableau de variations de \(f\). ### Partie B — Minimum 1. Déterminer la valeur minimale de \(f\). 2. En déduire que, pour tout \(x>0\) : $$ x+\frac4x\geq4. $$ ### Part…
Déterminer l'ensemble de définition de : $$ f(x)=\frac{2x+1}{x^2-4}. $$
Soit : $$ f(x)=x^2-4x+3. $$ 1. Calculer \(f(0)\), \(f(1)\) et \(f(3)\). 2. Déterminer les antécédents de \(0\). 3. Déterminer les antécédents de \(3\).
Soient : $$ f(x)=2x-1 $$ et : $$ g(x)=x^2+1. $$ 1. Calculer \((g\circ f)(x)\). 2. Calculer \((f\circ g)(x)\). 3. Comparer les deux fonctions obtenues.
Simplifier : \[ A=e^{2x}e^{3-x}, \] \[ B=\frac{e^{4x-1}}{e^{x+2}}, \] \[ C=e^{-2x}(e^x)^3. \]
Résoudre dans \(\mathbb R\) : 1. \(e^{3x-2}=e^{x+4}\) ; 2. \(e^{2x}=7\) ; 3. \(e^{2x}-4e^x+3=0\).
Résoudre dans \(\mathbb R\) : \[ e^{2x+1}>5. \]
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes : \[ f(x)=e^{3x^2-1}, \] \[ g(x)=(2x-1)e^{-x}, \] \[ h(x)=\frac{e^x}{x+1} \quad\text{sur}\quad \mathbb R\setminus\{-1\}. \]
On considère : \[ f(x)=(x-1)e^{-x} \] sur \(\mathbb R\). 1. Calculer \(f'(x)\). 2. Étudier les variations de \(f\). 3. Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). 4. Donner la valeur du maximum de \(f\).
Soit \(\alpha\in\mathbb R\) et : \[ f_\alpha(x)=x^\alpha \] sur \(]0,+\infty[\). 1. Justifier que \(f_\alpha'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\). 2. Étudier les variations selon le signe de \(\alpha\). 3. Appliquer les résultats à \(x\mapsto x^{-3/2}\).
Calculer : \[ L_1=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^4+2x}{e^x} \] et : \[ L_2=\lim_{x\to-\infty}(x^2-1)e^{2x}. \]
Un capital de \(500\,000\) F CFA est placé pendant cinq ans. - Placement A : intérêts composés de \(6\,\%\) par an. - Placement B : croissance continue au taux de \(5{,}9\,\%\) par an. 1. Donner les montants obtenus au bout de cinq ans. 2. Déterminer le placement le plus avantageux.
La quantité d’un médicament présente dans l’organisme, en milligrammes, est modélisée par : \[ Q(t)=120e^{-0{,}18t}, \] où \(t\geq0\) est exprimé en heures. 1. Calculer \(Q(0)\) et interpréter cette valeur. 2. Étudier les variations de \(Q\). 3. Déterminer la demi-vie du médicament. 4. À partir de quel instant la quantité devient-elle inférieure à \(20\) mg ?
Déterminer le domaine de définition de : 1. \[ f(x)=\ln(x-4); \] 2. \[ g(x)=\ln(3-2x); \] 3. \[ h(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right). \]
1. Développer : \[ A=\ln\left(\frac{5x^3}{y^2}\right), \] avec \(x>0\) et \(y>0\). 2. Regrouper : \[ B=3\ln x-\ln(x+1)+\ln2, \] avec \(x>0\).
Résoudre : \[ \ln(3x-2)=\ln(x+4). \]
Résoudre : \[ \ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln12. \]
Résoudre : \[ \ln(5-2x)>\ln(x+1). \]
Calculer la dérivée de : 1. \[ f(x)=\ln(x^2+1); \] 2. \[ g(x)=\ln(2x-3); \] 3. \[ h(x)=x\ln x. \]
On considère : \[ f(x)=x-2\ln x \] sur : \[ ]0,+\infty[. \] 1. Calculer \(f'(x)\). 2. Étudier le signe de \(f'(x)\). 3. Dresser le tableau de variations. 4. Déterminer le minimum de \(f\).
Calculer : 1. \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^2}; \] 2. \[ \lim_{x\to0^+} x^2\ln x; \] 3. \[ \lim_{x\to1} \frac{\ln x}{x-1}. \]
Le niveau sonore associé à une intensité \(I\) est défini par : \[ L=10\log\left(\frac I{I_0}\right). \] 1. Calculer l’augmentation du niveau sonore lorsque l’intensité est multipliée par \(10\). 2. Calculer l’augmentation lorsque l’intensité est multipliée par \(100\). 3. Interpréter les résultats.
Parmi les phrases suivantes, indiquer celles qui sont des propositions mathématiques. 1. \(7\) est un nombre premier. 2. \(x+2=5\). 3. Pour tout réel \(x\), on a \(x^2\geq 0\). 4. Fermer la porte. 5. Existe-t-il un entier naturel supérieur à \(100\) ?
On considère les propositions : \[ P : 5<8 \] et \[ Q : 9\text{ est un nombre premier}. \] Déterminer la valeur de vérité de : 1. \(P\) ; 2. \(Q\) ; 3. \(P\land Q\) ; 4. \(P\lor Q\) ; 5. \(P\Rightarrow Q\).
Donner la négation de la proposition : \[ P(x):\quad x>2\text{ et }x\leq 5. \]
On considère l'affirmation : > Si un entier \(n\) est divisible par \(4\), alors \(n\) est pair. 1. Cette implication est-elle vraie ? 2. Écrire sa réciproque. 3. La réciproque est-elle vraie ?
Démontrer l'affirmation suivante : > Si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair. On utilisera un raisonnement par contraposée.
On considère la proposition : \[ P:\quad \forall x\in\mathbb{R},\quad x^2+1>0. \] 1. Écrire la négation de \(P\). 2. Déterminer si \(P\) est vraie ou fausse.
On considère les ensembles : \[ A=[-2,3] \] et \[ B=[1,5]. \] Déterminer : 1. \(A\cap B\) ; 2. \(A\cup B\) ; 3. \(A\setminus B\).
Démontrer que la somme de deux entiers impairs est un entier pair.
Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\geq 1\) : \[ 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2. \]
Soit la fonction définie par : $$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. $$ 1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\). 2. Simplifier l'expression de \(f(x)\) lorsque cela est possible. 3. Calculer : $$ \lim_{x\to 1}f(x). $$
Calculer : $$ \lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x^2+x}-x\right). $$
Calculer : $$ \lim_{x\to+\infty} \frac{5x^2-3x+1}{2x^2+x-4}. $$
Soit : $$ f(x)=\frac{2x+1}{x-3}. $$ 1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f\). 2. Calculer : $$ \lim_{x\to 3^-}f(x). $$ 3. Calculer : $$ \lim_{x\to 3^+}f(x). $$ 4. En déduire une asymptote à la courbe.
Soit : $$ f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x+1}. $$ 1. Effectuer la division euclidienne du numérateur par \(x+1\). 2. Écrire \(f(x)\) sous la forme : $$ f(x)=mx+p+\frac{r}{x+1}. $$ 3. Déterminer une asymptote oblique à la courbe de \(f\).
On considère la fonction : $$ f(x)=x^3+x-1. $$ Montrer que l'équation : $$ f(x)=0 $$ possède au moins une solution dans l'intervalle \(]0,1[\).
Pour tout réel \(a\), on considère : $$ f_a(x)=\frac{x^2+ax+2}{x+1}. $$ L'objectif est de déterminer s'il est possible de choisir \(a\) afin de prolonger \(f_a\) par continuité en \(x=-1\). ### Partie A — Première analyse 1. Déterminer l'ensemble de définition de \(f_a\). 2. Calculer la valeur du numérateur en \(x=-1\). 3. Expliquer pourquoi cette valeur joue un rôle essentiel. ### Partie B — Détermination du paramèt…
On considère l’affirmation : > Si un entier \(n\) est multiple de \(6\), alors \(n\) est pair. 1. Identifier l’hypothèse et la conclusion. 2. Écrire la réciproque. 3. Écrire la contraposée. 4. Indiquer si la réciproque est vraie.
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers multiples de \(5\). Démontrer que : \[ 3a-2b \] est également un multiple de \(5\).
Démontrer que, pour tout entier \(n\) : \[ n^2\text{ impair} \Longrightarrow n\text{ impair}. \]
Soient \(a\in\mathbb Q\) et \(b\notin\mathbb Q\). Démontrer que : \[ a+b\notin\mathbb Q. \]
Démontrer que, pour tout réel \(x\) : \[ |x-1|\geq1-x. \]
Soit \(n\in\mathbb Z\). Démontrer que : \[ 6\mid n \] si et seulement si : \[ 2\mid n \qquad\text{et}\qquad 3\mid n. \]
Démontrer que, pour tout entier \(n\geq1\) : \[ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2. \]
Pour chacune des affirmations suivantes : 1. proposer une méthode de démonstration adaptée ; 2. démontrer l’affirmation. #### Affirmation A Pour tout entier \(n\) : \[ n^2+n \] est pair. #### Affirmation B Pour tout entier \(n\) : \[ n^2\text{ impair} \Longrightarrow n\text{ impair}. \] #### Affirmation C Pour tout entier \(n\geq1\) : \[ 2^n\geq n+1. \]
Pour chaque proposition, dire si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R\). 1. \(f(x)=6x-2\) et \(F(x)=3x^2-2x+5\) ; 2. \(f(x)=e^{2x}\) et \(F(x)=e^{2x}\) ; 3. \(f(x)=\cos x\) et \(F(x)=\sin x-4\).
Déterminer toutes les primitives sur \(\mathbb R\) de : \[ f(x)=5x^4-3x^2+2x-7. \]
Déterminer les primitives sur \(\mathbb R\) de : \[ f(x)=(2x+3)^5. \]
Déterminer les primitives de : \[ f(x)=\frac{3}{3x-6}. \]
Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x)=3x^2+2\) telle que \(F(-1)=4\).
Déterminer les primitives sur \(\mathbb R\) de : 1. \(f(x)=4xe^{2x^2+1}\) ; 2. \(g(x)=3\cos(3x-2)\) ; 3. \(h(x)=(2x+1)\sin(x^2+x)\).
Sur \(]0,+\infty[\), déterminer les primitives de : \[ f(x)=\frac{2x^3-3x+1}{x}. \]
Soit \(F\) une primitive sur \(\mathbb R\) de : \[ f(x)=(x-1)(x+2). \] 1. Étudier le signe de \(f\). 2. En déduire les variations de \(F\). 3. Donner la forme générale de \(F\).
L’accélération d’un mobile est donnée, pour \(t\geq0\), par : \[ a(t)=6t-4. \] À l’instant initial, sa vitesse vaut \(v(0)=3\) m/s et sa position vaut \(s(0)=10\) m. 1. Déterminer la vitesse \(v(t)\). 2. Déterminer la position \(s(t)\). 3. Calculer \(s(2)\).
1. Convertir en radians : \[ 30^\circ,\quad 120^\circ,\quad 225^\circ. \] 2. Convertir en degrés : \[ \frac{\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{4}. \] 3. Donner les valeurs exactes de : \[ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right), \quad \sin\left(\frac{\pi}{4}\right), \quad \cos\left(\frac{\pi}{2}\right). \]
Réduire les angles suivants dans \([0,2\pi[\) : \[ \frac{19\pi}{6}, \qquad -\frac{13\pi}{4}, \qquad \frac{29\pi}{3}. \]
Calculer exactement : \[ \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right), \] \[ \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right), \] \[ \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right), \] \[ \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right). \]
Simplifier : \[ A(x) = \frac{1-\cos^2 x}{\sin x} \] pour les réels \(x\) tels que \(\sin x\neq 0\).
Résoudre dans \([0,2\pi]\) : 1. \[ \cos x=-\frac12; \] 2. \[ \sin x=-\frac{\sqrt2}{2}; \] 3. \[ \tan x=1. \]
Calculer exactement : \[ \sin\left(\frac{\pi}{12}\right). \]
La température d’une enceinte thermique est modélisée par : \[ T(t) = 4\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)+22, \] où \(t\) est exprimé en heures et \(T(t)\) en degrés Celsius. 1. Déterminer la température moyenne. 2. Déterminer l’amplitude des variations. 3. Déterminer la période du phénomène. 4. Calculer \(T(0)\). 5. Déterminer les températures maximale et minimale.