Chapitre 6.1
6. Problèmes de synthèse
Problème de synthèse : refroidissement d'un four
Énoncé
Un four est porté à \(1000^\circ C\), puis il refroidit après extinction. On modélise sa température par :
$$
f(t)=980e^{-t/5}+20,
$$
où \(t\) est exprimé en heures.
Exercice
Exercice
Application
EntraînementDifficulté 1/5Correction à compléter
Déterminer au bout de combien de temps le four peut être ouvert sans risque si la température doit être inférieure à \(70^\circ C\).
Aucun indice
Correction non renseignée
Corrigé
On résout :
$$
980e^{-t/5}+20<70.
$$
Cela donne :
$$
e^{-t/5}<\frac{5}{98}.
$$
En appliquant le logarithme népérien :
$$
-\frac{t}{5}<\ln\left(\frac{5}{98}\right).
$$
Comme on multiplie par \(-5\), le sens de l'inégalité change :
$$
t>-5\ln\left(\frac{5}{98}\right).
$$
On obtient environ \(15\) heures.
Méthode
Ce problème combine fonctions exponentielles, logarithmes, inéquations et interprétation physique. C'est exactement le type de problème qui permet de vérifier si les notions sont réellement maîtrisées.