Primitives
La dérivation associe à une fonction son taux de variation. Le calcul des primitives suit le chemin inverse : connaissant une fonction \(f\), on recherche une fonction \(F\) telle que \(F'=f\).
Ce chapitre permet de :
- reconnaître une primitive sur un intervalle ;
- déterminer toutes les primitives d’une fonction ;
- utiliser les primitives usuelles et la linéarité ;
- reconnaître les formes composées ;
- déterminer une constante à l’aide d’une condition initiale ;
- relier le signe d’une fonction aux variations de ses primitives.
Si \(v(t)\) désigne la vitesse d’un mobile, sa position \(s(t)\) vérifie :
\[ s'(t)=v(t). \]
Trouver la position revient donc à chercher une primitive de la vitesse. La vitesse seule ne fixe pas la position initiale : une constante supplémentaire est nécessaire.
“Dériver fait disparaître les constantes ; calculer des primitives les fait réapparaître.
Définition sur un intervalle
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). Une fonction \(F\), dérivable sur \(I\), est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque :
\[ F'(x)=f(x) \quad\text{pour tout }x\in I. \]
Sur \(\mathbb R\), considérons :
\[ f(x)=3x^2-4x+1 \]
et :
\[ F(x)=x^3-2x^2+x+7. \]
Comme \(F'(x)=3x^2-4x+1=f(x)\), la fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R\).
La mention de l’intervalle est essentielle. Par exemple, \(x\mapsto1/x\) n’est pas définie sur un intervalle contenant \(0\).
Toutes les primitives
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\), alors toutes les primitives de \(f\) sur \(I\) sont les fonctions :
\[ x\longmapsto F(x)+C, \qquad C\in\mathbb R. \]
En effet, \((F+C)'=F'=f\). Réciproquement, si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\), alors \((F-G)'=0\). Sur un intervalle, \(F-G\) est donc constante.
Les deux courbes ont la même forme et se déduisent l’une de l’autre par une translation verticale. Leur dérivée commune est \(x\mapsto x\).
Primitives usuelles
Dans le tableau suivant, \(C\) désigne une constante réelle.
Fonction \(f(x)\) | Intervalle | Primitives \(F(x)\) |
|---|---|---|
\(k\) | \(\mathbb R\) | \(kx+C\) |
\(x^n\), \(n\in\mathbb N\) | \(\mathbb R\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\) |
\(x^\alpha\), \(\alpha\neq-1\) | \(]0,+\infty[\) | \(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\) |
\(\dfrac1x\) | \(]0,+\infty[\) ou \(]-\infty,0[\) | \(\ln|x|+C\) |
\(\dfrac1{\sqrt{x}}\) | \(]0,+\infty[\) | \(2\sqrt{x}+C\) |
\(e^x\) | \(\mathbb R\) | \(e^x+C\) |
\(\cos x\) | \(\mathbb R\) | \(\sin x+C\) |
\(\sin x\) | \(\mathbb R\) | \(-\cos x+C\) |
La formule des puissances ne s’applique pas à l’exposant \(-1\), car elle conduirait à une division par zéro. Il faut utiliser :
\[ (\ln|x|)'=\frac1x \]
sur tout intervalle ne contenant pas \(0\).
Linéarité
Si \(F\) et \(G\) sont respectivement des primitives de \(f\) et \(g\), et si \(a,b\in\mathbb R\), alors \(aF+bG\) est une primitive de \(af+bg\).
Pour :
\[ f(x)=4x^3-6x+5, \]
on primitive terme à terme :
\[ F(x)=x^4-3x^2+5x+C. \]
La primitive de \(fg\) n’est généralement pas le produit d’une primitive de \(f\) par une primitive de \(g\). Il faut d’abord transformer l’expression ou reconnaître une forme composée.
Reconnaître une forme composée
Les formules suivantes se lisent de droite à gauche à partir des règles de dérivation.
Forme à primitiver | Conditions | Une primitive |
|---|---|---|
\(u'u^n\) | \(n\neq-1\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) |
\(\dfrac{u'}u\) | \(u\neq0\) et signe constant | \(\ln|u|\) |
\(u'e^u\) | — | \(e^u\) |
\(u'\cos u\) | — | \(\sin u\) |
\(u'\sin u\) | — | \(-\cos u\) |
\(\dfrac{u'}{\sqrt u}\) | \(u>0\) | \(2\sqrt u\) |
- repérer la fonction intérieure \(u\) ;
- calculer mentalement \(u'\) ;
- comparer \(u'\) au facteur présent ;
- ajuster par une constante multiplicative ;
- dériver le résultat pour contrôler la réponse ;
- préciser l’intervalle de validité.
Cherchons les primitives de :
\[ f(x)=(3x-1)^4. \]
Avec \(u(x)=3x-1\), on a \(u'(x)=3\). Ainsi :
\[ f(x)=\frac13u'(x)u(x)^4. \]
Les primitives sont donc :
\[ \boxed{F(x)=\frac{(3x-1)^5}{15}+C}. \]
Sur tout intervalle où \(x^2+1>0\) :
\[ \frac{2x}{x^2+1}=\frac{u'}u \quad\text{avec}\quad u(x)=x^2+1. \]
Les primitives sont :
\[ \boxed{F(x)=\ln(x^2+1)+C}. \]
Pour \(f(x)=6xe^{3x^2}\), posons \(u(x)=3x^2\). Comme \(u'(x)=6x\) :
\[ \boxed{F(x)=e^{3x^2}+C}. \]
Condition initiale
Parmi l’infinité des primitives, une condition portant sur une valeur de \(F\) en sélectionne une seule.
Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), si \(x_0\in I\) et \(y_0\in\mathbb R\), il existe une unique primitive \(F\) de \(f\) sur \(I\) telle que :
\[ F(x_0)=y_0. \]
- calculer la forme générale \(F(x)=F_0(x)+C\) ;
- remplacer \(x\) par \(x_0\) ;
- résoudre l’équation \(F_0(x_0)+C=y_0\) ;
- écrire la primitive particulière obtenue.
Cherchons la primitive \(F\) de \(f(x)=2x-3\) telle que \(F(1)=4\).
\[ F(x)=x^2-3x+C. \]
La condition donne \(1-3+C=4\), donc \(C=6\). Ainsi :
\[ \boxed{F(x)=x^2-3x+6}. \]
Signe de \(f\) et variations de ses primitives
Comme \(F'=f\), le signe de \(f\) détermine directement les variations de toute primitive \(F\).
- si \(f>0\) sur un intervalle, toute primitive de \(f\) y est strictement croissante ;
- si \(f<0\), toute primitive y est strictement décroissante ;
- si \(f=0\), toute primitive y est constante.
| \(x\) | \(-\infty\) | \(0\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(F'(x)=x^2\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(F(x)=\frac{x^3}{3}\) | \(-\infty\) | ↗ | \(0\) | ↗ | \(+\infty\) |
La dérivée s’annule en \(0\), mais ne change pas de signe : la primitive reste strictement croissante.
Applications à la modélisation
Un mobile a pour vitesse, en mètres par seconde :
\[ v(t)=3t^2-4t+2. \]
Sa position est de la forme :
\[ s(t)=t^3-2t^2+2t+C. \]
Si \(s(0)=5\), alors \(C=5\). La position est donc :
\[ s(t)=t^3-2t^2+2t+5. \]
Cette démarche intervient aussi lorsque l’on remonte d’une accélération à une vitesse, d’un débit à un volume ou d’un taux de croissance à une quantité.
Erreurs fréquentes
Erreur | Écriture incorrecte | Réflexe correct |
|---|---|---|
Oubli de la constante | \(F(x)=x^2\) seulement | Écrire \(F(x)=x^2+C\) |
Mauvais exposant | Primitive de \(x^n=x^{n+1}\) | Diviser par \(n+1\) |
Cas \(1/x\) ignoré | Utiliser la règle des puissances | Utiliser \(\ln|x|\) |
Facteur intérieur oublié | Primitive de \(e^{3x}=e^{3x}\) | Écrire \(\frac13e^{3x}\) |
Produit primitivé terme à terme | Primitive de \(fg=FG\) | Transformer ou reconnaître une composée |
Domaine absent | Écrire \(\ln x\) pour \(x<0\) | Préciser l’intervalle et utiliser \(\ln|x|\) |
Condition initiale négligée | Conserver \(C\) indéterminée | Utiliser la valeur imposée |
Absence de contrôle | S’arrêter après le calcul | Dériver la réponse |
Exercices diagnostiques et progressifs
Reconnaître une primitive
Pour chaque proposition, dire si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb R\).
- \(f(x)=6x-2\) et \(F(x)=3x^2-2x+5\) ;
- \(f(x)=e^{2x}\) et \(F(x)=e^{2x}\) ;
- \(f(x)=\cos x\) et \(F(x)=\sin x-4\).
Primitiver terme à terme
Déterminer toutes les primitives sur \(\mathbb R\) de :
\[ f(x)=5x^4-3x^2+2x-7. \]
Ajuster un facteur constant
Déterminer les primitives sur \(\mathbb R\) de :
\[ f(x)=(2x+3)^5. \]
Préciser l’intervalle
Déterminer les primitives de :
\[ f(x)=\frac{3}{3x-6}. \]
Déterminer une primitive particulière
Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x)=3x^2+2\) telle que \(F(-1)=4\).
Reconnaître des formes composées
Déterminer les primitives sur \(\mathbb R\) de :
- \(f(x)=4xe^{2x^2+1}\) ;
- \(g(x)=3\cos(3x-2)\) ;
- \(h(x)=(2x+1)\sin(x^2+x)\).
Transformer avant de primitiver
Sur \(]0,+\infty[\), déterminer les primitives de :
\[ f(x)=\frac{2x^3-3x+1}{x}. \]
Déduire les variations d’une primitive
Soit \(F\) une primitive sur \(\mathbb R\) de :
\[ f(x)=(x-1)(x+2). \]
- Étudier le signe de \(f\).
- En déduire les variations de \(F\).
- Donner la forme générale de \(F\).
Retrouver le mouvement d’un mobile
L’accélération d’un mobile est donnée, pour \(t\geq0\), par :
\[ a(t)=6t-4. \]
À l’instant initial, sa vitesse vaut \(v(0)=3\) m/s et sa position vaut \(s(0)=10\) m.
- Déterminer la vitesse \(v(t)\).
- Déterminer la position \(s(t)\).
- Calculer \(s(2)\).
Pont vers l’Université
Une famille affine de fonctions
L’ensemble des primitives d’une fonction \(f\) n’est pas réduit à une fonction : c’est la famille \(F+C\). Une condition initiale choisit un unique élément de cette famille.
Équation différentielle \(y'=f\)
Chercher les primitives de \(f\) revient à résoudre l’équation différentielle :
\[ y'=f. \]
Les équations différentielles plus générales décrivent de nombreux phénomènes : croissance, oscillations, circuits électriques ou transferts thermiques.
Vers le calcul intégral
Dans le chapitre suivant, l’intégrale définie permettra de mesurer une accumulation. Le théorème fondamental reliera cette accumulation aux primitives : si \(F'=f\), alors la variation \(F(b)-F(a)\) sera associée à l’intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\).
Synthèse
Définition
\(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque \(F'=f\) sur \(I\).
Famille des primitives
Si \(F\) est une primitive, toutes les primitives sont \(F+C\), avec \(C\in\mathbb R\).
Réflexes de calcul
- utiliser les primitives usuelles et la linéarité ;
- repérer une fonction intérieure \(u\) et son facteur \(u'\) ;
- ajuster les coefficients constants ;
- préciser l’intervalle de définition ;
- traiter \(1/x\) avec \(\ln|x|\) ;
- déterminer \(C\) grâce à la condition initiale ;
- toujours dériver le résultat pour le vérifier.
Variations
Comme \(F'=f\), le signe de \(f\) donne les variations de toute primitive \(F\).