Fonctions exponentielles et puissances
La fonction exponentielle décrit les évolutions dont la vitesse est proportionnelle à la quantité présente : croissance d’une population, intérêts composés, décroissance radioactive ou refroidissement.
Ce chapitre permet de :
- définir l’exponentielle comme fonction réciproque du logarithme népérien ;
- calculer avec les expressions exponentielles ;
- dériver et étudier les fonctions comportant une exponentielle ;
- résoudre des équations et des inéquations exponentielles ;
- définir les puissances réelles sur \(]0,+\infty[\) ;
- comparer les croissances du logarithme, des puissances et de l’exponentielle ;
- construire et interpréter des modèles d’évolution.
Si une quantité \(Q\) vérifie :
\[ Q'(t)=kQ(t), \]
alors son taux de variation instantané est proportionnel à sa valeur. Les solutions non nulles sont de la forme :
\[ Q(t)=Q(0)e^{kt}. \]
Le signe de \(k\) détermine le comportement : croissance si \(k>0\), décroissance si \(k<0\).
“L’exponentielle transforme les additions en multiplications et modélise naturellement les évolutions multiplicatives.
Définition de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée \(\exp\), est la fonction réciproque du logarithme népérien.
Pour tout réel \(x\), \(e^x\) est l’unique réel strictement positif tel que :
\[ \ln(e^x)=x. \]
On note :
\[ \exp(x)=e^x. \]
Réciproquement, pour tout \(y>0\) :
\[ e^{\ln y}=y. \]
La fonction exponentielle est définie sur tout \(\mathbb R\) et prend ses valeurs dans \(]0,+\infty[\).
\[ e^0=1, \qquad e^1=e\approx2{,}718, \qquad e^{-1}=\frac1e. \]
Pour tout réel \(x\) :
\[ e^x>0. \]
Une exponentielle n’est donc jamais nulle.
La symétrie par rapport à la droite d’équation \(y=x\) traduit la réciprocité : le point \((a,e^a)\) de la courbe exponentielle correspond au point \((e^a,a)\) de la courbe logarithme.
Propriétés algébriques
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ e^{a+b}=e^a e^b. \]
Cette identité entraîne les règles suivantes.
Pour tous réels \(a\) et \(b\), et tout entier relatif \(n\) :
\[ e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}, \]
\[ e^{-a}=\frac1{e^a}, \]
\[ (e^a)^n=e^{na}. \]
Simplifions :
\[ A=\frac{e^{3x-2}e^{x+5}}{e^{2x}}. \]
En regroupant les exposants :
\[ A=e^{(3x-2)+(x+5)-2x}=e^{2x+3}. \]
En général :
\[ e^{a+b}=e^a e^b, \]
mais :
\[ e^{a+b}\neq e^a+e^b. \]
Par exemple, \(e^{0+0}=1\), tandis que \(e^0+e^0=2\).
Variations, dérivée et limites
La fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb R\) et :
\[ (e^x)'=e^x. \]
Elle est sa propre dérivée.
Comme \(e^x>0\) pour tout réel \(x\), la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
\[ \lim_{x\to-\infty}e^x=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty. \]
La droite d’équation \(y=0\) est une asymptote horizontale à la courbe exponentielle en \(-\infty\).
Le tableau de variations est donc :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \((e^x)'=e^x\) | \(+\) | ||
| \(e^x\) | \(0\) | ↗ | \(+\infty\) |
\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Cette limite est le nombre dérivé de l’exponentielle en \(0\). Elle permet aussi d’identifier l’équivalent :
\[ e^x-1\sim x \quad\text{lorsque}\quad x\to0. \]
Fonctions composées avec l’exponentielle
Si \(u\) est dérivable sur un intervalle, alors la fonction \(x\mapsto e^{u(x)}\) est dérivable sur cet intervalle et :
\[ \bigl(e^{u(x)}\bigr)'=u'(x)e^{u(x)}. \]
Soit :
\[ f(x)=e^{x^2-3x}. \]
Avec \(u(x)=x^2-3x\), on a \(u'(x)=2x-3\). Donc :
\[ f'(x)=(2x-3)e^{x^2-3x}. \]
Comme le facteur exponentiel est strictement positif, le signe de \(f'(x)\) est celui de \(2x-3\).
Pour étudier une fonction avec une exponentielle :
- déterminer son domaine, souvent \(\mathbb R\) ;
- calculer sa dérivée en appliquant la dérivation d’une composée, d’un produit ou d’un quotient ;
- factoriser la dérivée par une exponentielle strictement positive ;
- étudier le signe du facteur restant ;
- calculer les limites en utilisant les croissances comparées ;
- dresser le tableau de variations.
La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Sa dérivée vaut :
\[ f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}. \]
Comme \(e^{-x}>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(1-x\). Ainsi, \(f\) est croissante sur \(]-\infty,1]\), puis décroissante sur \([1,+\infty[\).
Elle atteint son maximum en \(x=1\) :
\[ f(1)=\frac1e. \]
Équations exponentielles
La fonction exponentielle est strictement croissante, donc injective.
Pour tous réels \(A\) et \(B\) :
\[ e^A=e^B \Longleftrightarrow A=B. \]
Résolvons :
\[ e^{2x-1}=e^{x+3}. \]
L’injectivité de l’exponentielle donne :
\[ 2x-1=x+3, \]
d’où :
\[ \boxed{x=4}. \]
Lorsque le second membre est un réel strictement positif, on utilise le logarithme.
Pour \(a>0\) :
\[ e^x=a \Longleftrightarrow x=\ln a. \]
Si \(a\leq0\), l’équation n’a aucune solution réelle.
Résolvons :
\[ e^{2x}-5e^x+6=0. \]
Posons \(X=e^x\). Alors \(X>0\) et :
\[ X^2-5X+6=0. \]
Ainsi :
\[ (X-2)(X-3)=0. \]
Les deux racines sont positives. On obtient :
\[ \boxed{x=\ln2\quad\text{ou}\quad x=\ln3}. \]
Inéquations exponentielles
La stricte croissance de l’exponentielle conserve le sens des inégalités.
Pour tous réels \(A\) et \(B\) :
\[ e^A<e^B \Longleftrightarrow A<B. \]
La même équivalence vaut avec \(\leq\), \(>\) ou \(\geq\).
Résolvons :
\[ e^{3x-2}\leq e^{x+4}. \]
La fonction exponentielle étant croissante :
\[ 3x-2\leq x+4. \]
Donc :
\[ 2x\leq6 \]
et finalement :
\[ \boxed{x\leq3}. \]
Pour comparer \(e^{u(x)}\) à un nombre \(a>0\), on peut écrire \(a=e^{\ln a}\), puis comparer les exposants.
Exponentielles de base \(a\)
Soit \(a>0\). Pour tout réel \(x\), on définit :
\[ a^x=e^{x\ln a}. \]
Si \(a\neq1\), la fonction \(x\mapsto a^x\) est une exponentielle de base \(a\).
Sa dérivée est :
\[ (a^x)'=(\ln a)a^x. \]
Par conséquent :
- si \(a>1\), alors \(\ln a>0\) et \(x\mapsto a^x\) est strictement croissante ;
- si \(0<a<1\), alors \(\ln a<0\) et \(x\mapsto a^x\) est strictement décroissante ;
- si \(a=1\), la fonction est constante égale à \(1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \((a^x)'=(\ln a)a^x>0\) | \(+\) | ||
| \(a^x\) | \(0\) | ↗ | \(+\infty\) |
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \((a^x)'=(\ln a)a^x<0\) | \(-\) | ||
| \(a^x\) | \(+\infty\) | ↘ | \(0\) |
La fonction \(x\mapsto2^x\) est croissante, tandis que \(x\mapsto(1/2)^x\) est décroissante.
De plus :
\[ \left(\frac12\right)^x=2^{-x}. \]
Fonctions puissances
Les puissances entières sont définies sur un domaine dépendant de l’exposant. Pour traiter un exposant réel quelconque de façon cohérente, on se place sur les réels strictement positifs.
Pour tout réel \(\alpha\) et tout \(x>0\), on définit :
\[ x^\alpha=e^{\alpha\ln x}. \]
Cette définition prolonge les puissances entières et rationnelles déjà connues.
Pour tout réel \(\alpha\), la fonction \(x\mapsto x^\alpha\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et :
\[ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}. \]
Sur \(]0,+\infty[\), soit :
\[ f(x)=x^{\sqrt2}. \]
Alors :
\[ f'(x)=\sqrt2\,x^{\sqrt2-1}. \]
Comme cette dérivée est positive, \(f\) est strictement croissante.
Sur \(]0,+\infty[\) :
- si \(\alpha>0\), la fonction \(x\mapsto x^\alpha\) est strictement croissante ;
- si \(\alpha=0\), elle est constante égale à \(1\) ;
- si \(\alpha<0\), elle est strictement décroissante.
| \(x\) | \(0\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(\alpha x^{\alpha-1}>0\) | \(+\) | ||
| \(x^\alpha\) | \(0\) | ↗ | \(+\infty\) |
| \(x\) | \(0\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(\alpha x^{\alpha-1}<0\) | \(-\) | ||
| \(x^\alpha\) | \(+\infty\) | ↘ | \(0\) |
La formule \(x^\alpha=e^{\alpha\ln x}\) exige \(x>0\). Pour un exposant entier, une expression comme \(x^3\) reste bien définie sur tout \(\mathbb R\), mais elle est alors étudiée avec sa définition polynomiale usuelle.
Croissances comparées
À l’infini, le logarithme, les puissances positives et l’exponentielle n’ont pas la même vitesse de croissance.
Pour tous réels \(\alpha>0\) et \(\beta>0\) :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha}=0, \]
et :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{e^{\beta x}}=0. \]
On résume cette hiérarchie par :
\[ (\ln x)^\beta\ll x^\alpha\ll e^{\beta x}. \]
Pour tout entier naturel \(n\) :
\[ \lim_{x\to+\infty}x^n e^{-x}=0, \]
et :
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n e^x=0. \]
Lorsqu’une expression combine une puissance et une exponentielle :
- repérer le sens de la limite ;
- réécrire si nécessaire \(e^{-x}=1/e^x\) ;
- identifier une forme de croissance comparée ;
- isoler les constantes et les facteurs qui ont une limite finie ;
- conclure sans développer inutilement l’exponentielle.
Calculons :
\[ \lim_{x\to+\infty}(3x^2-x)e^{-x}. \]
On écrit :
\[ (3x^2-x)e^{-x} =3\frac{x^2}{e^x}-\frac{x}{e^x}. \]
Chaque quotient tend vers \(0\). Donc :
\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}(3x^2-x)e^{-x}=0}. \]
Modéliser une évolution exponentielle
Une quantité \(Q\) qui évolue à un taux continu constant \(k\) peut être modélisée par :
\[ Q(t)=Q_0e^{kt}, \]
où \(Q_0=Q(0)>0\).
Le coefficient \(k\) s’exprime par unité de temps. Il ne doit pas être confondu avec un pourcentage appliqué à chaque période discrète.
Si \(k>0\), le temps de doublement \(T_d\) vérifie :
\[ T_d=\frac{\ln2}{k}. \]
Si \(k<0\), la demi-vie \(T_{1/2}\) vérifie :
\[ T_{1/2}=\frac{\ln2}{-k}. \]
Une substance suit le modèle :
\[ M(t)=80e^{-0{,}12t}, \]
où \(t\) est exprimé en années. Sa demi-vie est :
\[ T_{1/2}=\frac{\ln2}{0{,}12}\approx5{,}78. \]
La masse est donc divisée par deux environ tous les \(5{,}78\) ans.
Modèle discret et intérêts composés
Une quantité multipliée par \(1+r\) à chaque période suit :
\[ Q_n=Q_0(1+r)^n. \]
Lorsque \(r>-1\), on peut aussi écrire :
\[ Q_n=Q_0e^{n\ln(1+r)}. \]
Cette écriture relie les suites géométriques au modèle exponentiel.
Erreurs fréquentes
Erreur | Écriture incorrecte | Réflexe correct |
|---|---|---|
Exponentielle d’une somme | \(e^{a+b}=e^a+e^b\) | \(e^{a+b}=e^ae^b\) |
Dérivée incomplète | \((e^{u})'=e^u\) | \((e^u)'=u'e^u\) |
Zéro imaginaire | Résoudre \(e^x=0\) | \(e^x>0\), donc aucune solution |
Mauvais sens d’inégalité | Inverser l’ordre | L’exponentielle est croissante |
Substitution non contrôlée | Poser \(X=e^x\) sans condition | Toujours conserver \(X>0\) |
Domaine d’une puissance réelle | Utiliser \(x^\alpha\) pour tout réel \(x\) | Avec \(x^\alpha=e^{\alpha\ln x}\), imposer \(x>0\) |
Croissance comparée inversée | Une puissance domine \(e^x\) | L’exponentielle domine toute puissance |
Taux mal interprété | Confondre \(e^{rt}\) et \((1+r)^t\) | Identifier si le modèle est continu ou discret |
Exercices diagnostiques et progressifs
Calculs algébriques
Simplifier des expressions exponentielles
Simplifier :
\[ A=e^{2x}e^{3-x}, \]
\[ B=\frac{e^{4x-1}}{e^{x+2}}, \]
\[ C=e^{-2x}(e^x)^3. \]
Équations
Résoudre des équations exponentielles
Résoudre dans \(\mathbb R\) :
- \(e^{3x-2}=e^{x+4}\) ;
- \(e^{2x}=7\) ;
- \(e^{2x}-4e^x+3=0\).
Inéquations
Exploiter la croissance de l’exponentielle
Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ e^{2x+1}>5. \]
Dérivation
Dériver des fonctions exponentielles
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
\[ f(x)=e^{3x^2-1}, \]
\[ g(x)=(2x-1)e^{-x}, \]
\[ h(x)=\frac{e^x}{x+1} \quad\text{sur}\quad \mathbb R\setminus\{-1\}. \]
Étude de fonction
Étudier une fonction avec exponentielle
On considère :
\[ f(x)=(x-1)e^{-x} \]
sur \(\mathbb R\).
- Calculer \(f'(x)\).
- Étudier les variations de \(f\).
- Déterminer les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
- Donner la valeur du maximum de \(f\).
Lorsque \(x\to+\infty\), la croissance comparée donne :
\[ (x-1)e^{-x}\to0. \]
Lorsque \(x\to-\infty\), posons \(t=-x\to+\infty\) :
\[ f(x)=(-t-1)e^t\to-\infty. \]
Le maximum est atteint en \(x=2\) et vaut :
\[ \boxed{f(2)=e^{-2}}. \] ::
Fonctions puissances
Étudier une puissance réelle
Soit \(\alpha\in\mathbb R\) et :
\[ f_\alpha(x)=x^\alpha \]
sur \(]0,+\infty[\).
- Justifier que \(f_\alpha'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\).
- Étudier les variations selon le signe de \(\alpha\).
- Appliquer les résultats à \(x\mapsto x^{-3/2}\).
Croissance comparée
Comparer puissance et exponentielle
Calculer :
\[ L_1=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^4+2x}{e^x} \]
et :
\[ L_2=\lim_{x\to-\infty}(x^2-1)e^{2x}. \]
Intérêts composés
Comparer deux placements
Un capital de \(500\,000\) F CFA est placé pendant cinq ans.
- Placement A : intérêts composés de \(6\,\%\) par an.
- Placement B : croissance continue au taux de \(5{,}9\,\%\) par an.
- Donner les montants obtenus au bout de cinq ans.
- Déterminer le placement le plus avantageux.
Décroissance exponentielle
Étudier l’élimination d’un médicament
La quantité d’un médicament présente dans l’organisme, en milligrammes, est modélisée par :
\[ Q(t)=120e^{-0{,}18t}, \]
où \(t\geq0\) est exprimé en heures.
- Calculer \(Q(0)\) et interpréter cette valeur.
- Étudier les variations de \(Q\).
- Déterminer la demi-vie du médicament.
- À partir de quel instant la quantité devient-elle inférieure à \(20\) mg ?
Pont vers l’Université
Équation différentielle fondamentale
La fonction exponentielle est l’outil central de l’équation différentielle :
\[ y'=ky. \]
Toutes ses solutions sont de la forme :
\[ y(x)=Ce^{kx}, \]
où \(C\) est une constante réelle. Une condition initiale détermine \(C\).
Exponentielle complexe
Dans le plan complexe, la formule d’Euler relie exponentielle et trigonométrie :
\[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \]
Elle permet de représenter les rotations, les oscillations et les signaux périodiques.
Développement limité
Au voisinage de zéro :
\[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3). \]
Le premier ordre redonne l’approximation :
\[ e^x\approx1+x \quad\text{pour}\quad x\text{ proche de }0. \]
Convexité
Comme :
\[ (e^x)''=e^x>0, \]
la fonction exponentielle est strictement convexe. Sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes. La tangente en \(0\) fournit l’inégalité :
\[ e^x\geq1+x \]
pour tout réel \(x\), avec égalité uniquement pour \(x=0\).
Synthèse
Définition et réciprocité
\[ \ln(e^x)=x \quad\text{pour tout}\quad x\in\mathbb R, \]
\[ e^{\ln x}=x \quad\text{pour tout}\quad x>0. \]
Calcul algébrique
\[ e^{a+b}=e^ae^b, \qquad e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}, \qquad e^{-a}=\frac1{e^a}. \]
Signe, dérivée et variations
\[ e^x>0, \qquad (e^x)'=e^x. \]
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Limites
\[ \lim_{x\to-\infty}e^x=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, \]
\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1. \]
Composition
\[ \bigl(e^{u(x)}\bigr)'=u'(x)e^{u(x)}. \]
Le facteur exponentiel étant positif, le signe de la dérivée dépend souvent du facteur restant.
Équations et inéquations
\[ e^A=e^B \Longleftrightarrow A=B, \]
\[ e^A<e^B \Longleftrightarrow A<B. \]
Pour \(a>0\) :
\[ e^x=a \Longleftrightarrow x=\ln a. \]
Puissances réelles
Pour \(x>0\) et \(\alpha\in\mathbb R\) :
\[ x^\alpha=e^{\alpha\ln x}, \qquad (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}. \]
Croissances comparées
Pour \(\alpha>0\) et \(\beta>0\) :
\[ (\ln x)^\beta\ll x^\alpha\ll e^{\beta x} \quad\text{lorsque}\quad x\to+\infty. \]
Modélisation
Modèle continu :
\[ Q(t)=Q_0e^{kt}. \]
Modèle discret à taux \(r\) par période :
\[ Q_n=Q_0(1+r)^n. \]
Réflexe essentiel
Dans un problème exponentiel :
- exploiter la positivité de l’exponentielle ;
- simplifier les exposants avant de calculer ;
- factoriser la dérivée par un facteur exponentiel positif ;
- utiliser la croissance pour les équations et inéquations ;
- reconnaître les croissances comparées dans les limites ;
- distinguer un modèle continu d’un modèle discret.