Fonctions logarithmes
Le logarithme transforme les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits.
Il intervient notamment dans :
- la résolution d’équations exponentielles ;
- l’étude de la croissance lente ;
- les échelles de mesure comme le pH et les décibels ;
- la modélisation de phénomènes physiques ;
- les calculs financiers ;
- l’algorithmique et la théorie de l’information.
Le logarithme népérien vérifie :
\[ \ln(ab)=\ln a+\ln b. \]
Ainsi, une multiplication peut être transformée en addition.
Par exemple :
\[ \ln(1000) = \ln(10^3) = 3\ln(10). \]
Cette propriété explique pourquoi les logarithmes ont longtemps été utilisés pour simplifier les calculs numériques avant l’apparition des calculatrices.
“Le logarithme ne simplifie pas seulement les nombres : il révèle les rapports multiplicatifs cachés dans une situation.
Définition du logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée :
\[ \ln, \]
est l’unique fonction dérivable sur :
\[ ]0,+\infty[ \]
qui vérifie :
\[ \ln'(x)=\frac1x \]
et :
\[ \ln(1)=0. \]
Le logarithme népérien n’est défini que pour les nombres strictement positifs.
Son domaine de définition est :
\[ \boxed{\mathcal D_{\ln}=]0,+\infty[}. \]
Dans l’ensemble des nombres réels :
\[ \ln x \]
n’existe que si :
\[ x>0. \]
Les expressions suivantes ne sont donc pas définies :
\[ \ln(0), \qquad \ln(-2). \]
Domaine d’une expression logarithmique
Pour déterminer le domaine d’une expression contenant :
\[ \ln(u(x)), \]
il faut résoudre :
\[ u(x)>0. \]
Considérons :
\[ f(x)=\ln(2x-6). \]
Il faut :
\[ 2x-6>0. \]
Donc :
\[ x>3. \]
Ainsi :
\[ \boxed{\mathcal D_f=]3,+\infty[}. \]
Considérons :
\[ g(x)=\ln(x+2)-\ln(5-x). \]
Il faut simultanément :
\[ x+2>0 \]
et :
\[ 5-x>0. \]
On obtient :
\[ x>-2 \]
et :
\[ x<5. \]
Donc :
\[ \boxed{\mathcal D_g=]-2,5[}. \]
Propriétés algébriques
Pour tous réels strictement positifs \(a\) et \(b\) :
\[ \boxed{\ln(ab)=\ln a+\ln b}. \]
Pour tous réels strictement positifs \(a\) et \(b\) :
\[ \boxed{ \ln\left(\frac ab\right) = \ln a-\ln b }. \]
Pour tout réel \(a>0\) et tout entier relatif \(n\) :
\[ \boxed{\ln(a^n)=n\ln a}. \]
Cette propriété s’étend à de nombreuses puissances réelles lorsque celles-ci sont définies.
Pour tout réel \(a>0\) :
\[ \ln(1)=0, \]
\[ \ln\left(\frac1a\right)=-\ln a, \]
\[ \ln(\sqrt a)=\frac12\ln a. \]
Développons :
\[ \ln\left(\frac{3x^2}{y}\right), \]
avec :
\[ x\neq0 \qquad\text{et}\qquad y>0. \]
On obtient :
\[ \ln\left(\frac{3x^2}{y}\right) = \ln(3x^2)-\ln y. \]
Puis :
\[ \ln(3x^2) = \ln3+\ln(x^2). \]
Comme :
\[ x^2>0, \]
on a :
\[ \ln(x^2)=2\ln|x|. \]
Ainsi :
\[ \boxed{ \ln\left(\frac{3x^2}{y}\right) = \ln3+2\ln|x|-\ln y }. \]
Regroupons :
\[ 2\ln x+\ln(x+1)-\ln3, \]
avec :
\[ x>0. \]
On a :
\[ 2\ln x=\ln(x^2). \]
Donc :
\[ 2\ln x+\ln(x+1) = \ln\bigl(x^2(x+1)\bigr). \]
Puis :
\[ \boxed{ 2\ln x+\ln(x+1)-\ln3 = \ln\left(\frac{x^2(x+1)}3\right) }. \]
En général :
\[ \ln(a+b) \neq \ln a+\ln b. \]
Par exemple :
\[ \ln(1+1)=\ln2, \]
alors que :
\[ \ln1+\ln1=0. \]
Les propriétés du logarithme concernent les produits, les quotients et les puissances, pas les sommes.
Variations et signe
Pour tout \(x>0\) :
\[ \ln'(x)=\frac1x. \]
Comme :
\[ \frac1x>0 \]
sur :
\[ ]0,+\infty[, \]
la fonction logarithme népérien est strictement croissante.
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur :
\[ ]0,+\infty[. \]
Son tableau de variations est :
\(x\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
\(\ln x\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
La courbe passe par le point \((1,0)\), est strictement croissante et possède l’axe des ordonnées comme asymptote verticale.
Signe de \(\ln x\)
Comme la fonction \(\ln\) est croissante et que :
\[ \ln1=0, \]
on obtient :
\[ \ln x<0 \quad\text{si}\quad 0<x<1, \]
\[ \ln x=0 \quad\text{si}\quad x=1, \]
\[ \ln x>0 \quad\text{si}\quad x>1. \]
Valeur de \(x\) | \(]0,1[\) | \(1\) | \(]1,+\infty[\) |
|---|---|---|---|
Signe de \(\ln x\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Étudions le signe de :
\[ \ln(2x-1). \]
L’expression est définie lorsque :
\[ 2x-1>0, \]
donc :
\[ x>\frac12. \]
Ensuite :
\[ \ln(2x-1)>0 \]
si et seulement si :
\[ 2x-1>1. \]
Donc :
\[ x>1. \]
De même :
\[ \ln(2x-1)=0 \]
pour :
\[ x=1. \]
Enfin :
\[ \ln(2x-1)<0 \]
sur :
\[ \left]\frac12,1\right[. \]
Comparaison avec le logarithme
Comme \(\ln\) est strictement croissante :
\[ a<b \Longleftrightarrow \ln a<\ln b \]
pour tous réels strictement positifs \(a\) et \(b\).
Pour \(a>0\) et \(b>0\) :
\[ \ln a=\ln b \Longleftrightarrow a=b, \]
\[ \ln a<\ln b \Longleftrightarrow a<b, \]
\[ \ln a\leq\ln b \Longleftrightarrow a\leq b. \]
Comparons :
\[ \ln7 \]
et :
\[ \ln10. \]
Comme :
\[ 7<10 \]
et que \(\ln\) est croissante :
\[ \boxed{\ln7<\ln10}. \]
Limites fondamentales
On a :
\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty } \]
et :
\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty }. \]
La droite d’équation :
\[ x=0 \]
est donc une asymptote verticale à la courbe de \(\ln\).
Limite de \(\frac{\ln x}{x}\)
La fonction logarithme croît beaucoup plus lentement que toute puissance positive de \(x\).
En particulier :
\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0 }. \]
Plus généralement, pour tout réel \(\alpha>0\) :
\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0 }. \]
Calculons :
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{3\ln x+2}{x}. \]
On écrit :
\[ \frac{3\ln x+2}{x} = 3\frac{\ln x}{x} + \frac2x. \]
Or :
\[ \frac{\ln x}{x}\longrightarrow0 \]
et :
\[ \frac2x\longrightarrow0. \]
Donc :
\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty} \frac{3\ln x+2}{x} = 0 }. \]
Limites en zéro
Pour tout réel \(\alpha>0\) :
\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0 }. \]
La limite vaut \(0\) par valeurs négatives, car :
\[ \ln x<0 \]
au voisinage de \(0\).
On a :
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0. \]
Même si :
\[ \ln x\longrightarrow-\infty, \]
le facteur \(x\) tend suffisamment vite vers \(0\) pour que le produit tende vers \(0\).
Limite fondamentale en \(1\)
On a :
\[ \boxed{ \lim_{x\to1} \frac{\ln x}{x-1}=1 }. \]
En posant :
\[ h=x-1, \]
on obtient la forme équivalente :
\[ \boxed{ \lim_{h\to0} \frac{\ln(1+h)}h=1 }. \]
Cette limite traduit le fait que la tangente à la courbe de \(\ln\) au point d’abscisse \(1\) a pour pente \(1\).
Son équation est :
\[ \boxed{y=x-1}. \]
Dérivée d’une fonction logarithmique
Soit \(u\) une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle.
Alors :
\[ \boxed{ \bigl(\ln(u(x))\bigr)' = \frac{u'(x)}{u(x)} }. \]
Considérons :
\[ f(x)=\ln(3x+2). \]
Le domaine est défini par :
\[ 3x+2>0, \]
donc :
\[ x>-\frac23. \]
On a :
\[ u(x)=3x+2 \]
et :
\[ u'(x)=3. \]
Ainsi :
\[ \boxed{ f'(x)=\frac3{3x+2} }. \]
Considérons :
\[ g(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right). \]
Sur son domaine, on peut écrire :
\[ g(x)=\ln(x+1)-\ln(x-2). \]
Donc :
\[ g'(x) = \frac1{x+1} - \frac1{x-2}. \]
On réduit :
\[ g'(x) = \frac{x-2-(x+1)}{(x+1)(x-2)}. \]
Ainsi :
\[ \boxed{ g'(x) = \frac{-3}{(x+1)(x-2)} }. \]
Soit :
\[ f(x)=x^x, \qquad x>0. \]
On pose :
\[ y=x^x. \]
Alors :
\[ \ln y=x\ln x. \]
En dérivant :
\[ \frac{y'}y = \ln x+1. \]
Donc :
\[ \boxed{ f'(x)=x^x(\ln x+1) }. \]
Équations logarithmiques
Avant de résoudre une équation logarithmique, il faut toujours déterminer son domaine.
Égalité de deux logarithmes
Pour \(A>0\) et \(B>0\) :
\[ \ln A=\ln B \Longleftrightarrow A=B. \]
Résolvons :
\[ \ln(2x-1)=\ln(x+3). \]
Les conditions de définition sont :
\[ 2x-1>0 \]
et :
\[ x+3>0. \]
Donc :
\[ x>\frac12. \]
L’égalité des logarithmes donne :
\[ 2x-1=x+3. \]
Ainsi :
\[ x=4. \]
Cette valeur appartient au domaine.
Donc :
\[ \boxed{S=\{4\}}. \]
Utiliser les propriétés algébriques
Résolvons :
\[ \ln x+\ln(x-1)=\ln6. \]
Il faut :
\[ x>0 \]
et :
\[ x-1>0. \]
Donc :
\[ x>1. \]
On regroupe :
\[ \ln\bigl(x(x-1)\bigr)=\ln6. \]
Ainsi :
\[ x(x-1)=6. \]
Donc :
\[ x^2-x-6=0. \]
On factorise :
\[ (x-3)(x+2)=0. \]
Les solutions candidates sont :
\[ x=3 \]
et :
\[ x=-2. \]
Seule la valeur \(3\) appartient au domaine.
Ainsi :
\[ \boxed{S=\{3\}}. \]
Équation de la forme \(\ln x=a\)
Pour tout réel \(a\), l’équation :
\[ \ln x=a \]
possède une unique solution positive.
Cette solution est notée :
\[ x=e^a. \]
La fonction exponentielle sera étudiée dans le chapitre suivant.
Inéquations logarithmiques
La fonction \(\ln\) étant strictement croissante, elle conserve le sens des inégalités.
Résolvons :
\[ \ln(2x+1)\leq\ln7. \]
Il faut :
\[ 2x+1>0, \]
donc :
\[ x>-\frac12. \]
Comme \(\ln\) est croissante :
\[ 2x+1\leq7. \]
Donc :
\[ 2x\leq6, \]
puis :
\[ x\leq3. \]
En tenant compte du domaine :
\[ \boxed{ S=\left]-\frac12,3\right] }. \]
Résolvons :
\[ \ln x+\ln(x-2)>\ln3. \]
Le domaine impose :
\[ x>2. \]
On regroupe :
\[ \ln\bigl(x(x-2)\bigr)>\ln3. \]
Comme \(\ln\) est croissante :
\[ x(x-2)>3. \]
Donc :
\[ x^2-2x-3>0. \]
On factorise :
\[ (x-3)(x+1)>0. \]
Cette inéquation est vérifiée pour :
\[ x<-1 \]
ou :
\[ x>3. \]
En tenant compte du domaine \(x>2\) :
\[ \boxed{S=]3,+\infty[}. \]
Étude de fonctions avec logarithme
Considérons :
\[ f(x)=x-\ln x. \]
Son domaine est :
\[ ]0,+\infty[. \]
Sa dérivée est :
\[ f'(x)=1-\frac1x. \]
On réduit :
\[ f'(x)=\frac{x-1}{x}. \]
Comme \(x>0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x-1\).
Ainsi :
- \(f'(x)<0\) sur \(]0,1[\) ;
- \(f'(1)=0\) ;
- \(f'(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\).
La fonction est donc décroissante puis croissante.
Elle admet un minimum en \(x=1\) :
\[ f(1)=1-\ln1=1. \]
Ainsi :
\[ \boxed{x-\ln x\geq1} \]
pour tout \(x>0\).
Cette étude permet aussi d’établir :
\[ \boxed{\ln x\leq x-1} \]
pour tout \(x>0\).
L’égalité est obtenue uniquement pour :
\[ x=1. \]
Pour tout réel \(x>0\) :
\[ \boxed{\ln x\leq x-1}. \]
L’égalité a lieu si et seulement si :
\[ x=1. \]
Logarithme décimal
Pour tout réel \(x>0\), le logarithme décimal de \(x\), noté :
\[ \log x, \]
est défini par :
\[ \boxed{ \log x = \frac{\ln x}{\ln10} }. \]
Il vérifie :
\[ \log10=1, \]
\[ \log100=2, \]
\[ \log1000=3. \]
Plus généralement :
\[ \boxed{\log(10^n)=n}. \]
Les propriétés algébriques sont les mêmes que celles du logarithme népérien :
\[ \log(ab)=\log a+\log b, \]
\[ \log\left(\frac ab\right)=\log a-\log b, \]
\[ \log(a^n)=n\log a. \]
Une variation additive sur une échelle logarithmique correspond à une variation multiplicative de la grandeur mesurée.
Ordre de grandeur
Si :
\[ 10^n\leq x<10^{n+1}, \]
alors :
\[ n\leq\log x<n+1. \]
L’entier \(n\) indique l’ordre de grandeur décimal de \(x\).
On a :
\[ 10^3\leq3500<10^4. \]
Donc :
\[ 3\leq\log(3500)<4. \]
Le nombre \(3500\) est de l’ordre de :
\[ 10^3. \]
Applications des logarithmes
Échelle du pH
Le pH d’une solution est défini par une relation de la forme :
\[ \mathrm{pH} = -\log[H_3O^+]. \]
Une diminution d’une unité de pH correspond à une concentration en ions oxonium multipliée par \(10\).
Décibels
Le niveau sonore peut être modélisé par :
\[ L=10\log\left(\frac I{I_0}\right), \]
où \(I\) est l’intensité sonore et \(I_0\) une intensité de référence.
Multiplier l’intensité par \(10\) augmente le niveau sonore de :
\[ 10\ \mathrm{dB}. \]
Croissance algorithmique
Dans certains algorithmes, le nombre d’étapes croît comme :
\[ \log_2(n). \]
C’est notamment le cas de la recherche dichotomique, où l’on divise à chaque étape la taille du problème par \(2\).
Erreurs fréquentes
Erreur | Écriture incorrecte | Correction |
|---|---|---|
Logarithme d’une somme | \(\ln(a+b)=\ln a+\ln b\) | Aucune formule générale |
Oubli du domaine | Résoudre sans imposer \(u(x)>0\) | Déterminer le domaine en premier |
Produit mal développé | \(\ln(ab)=\ln a\ln b\) | \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\) |
Quotient mal transformé | \(\ln(a/b)=\ln a/\ln b\) | \(\ln(a/b)=\ln a-\ln b\) |
Puissance oubliée | \(\ln(a^n)=(\ln a)^n\) | \(\ln(a^n)=n\ln a\) |
Mauvaise comparaison | Inverser le sens avec \(\ln\) | \(\ln\) est croissante |
Confusion \(\ln(x^2)\) | \(2\ln x\) pour tout \(x\neq0\) | \(\ln(x^2)=2\ln|x|\) |
Valeur interdite oubliée | Accepter une solution hors domaine | Vérifier chaque solution |
Exercices diagnostiques et progressifs
Domaine de définition
Déterminer des domaines logarithmiques
Déterminer le domaine de définition de :
1. \[ f(x)=\ln(x-4); \]
2. \[ g(x)=\ln(3-2x); \]
3. \[ h(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right). \]
Propriétés algébriques
Développer et regrouper des logarithmes
- Développer :
\[ A=\ln\left(\frac{5x^3}{y^2}\right), \]
avec \(x>0\) et \(y>0\).
- Regrouper :
\[ B=3\ln x-\ln(x+1)+\ln2, \]
avec \(x>0\).
Équation logarithmique
Résoudre une égalité de logarithmes
Résoudre :
\[ \ln(3x-2)=\ln(x+4). \]
Somme de logarithmes
Transformer une somme en produit
Résoudre :
\[ \ln(x-1)+\ln(x+2)=\ln12. \]
Inéquation logarithmique
Exploiter la croissance du logarithme
Résoudre :
\[ \ln(5-2x)>\ln(x+1). \]
Dérivation
Dériver des fonctions logarithmiques
Calculer la dérivée de :
1. \[ f(x)=\ln(x^2+1); \]
2. \[ g(x)=\ln(2x-3); \]
3. \[ h(x)=x\ln x. \]
Étude de fonction
Étudier une fonction logarithmique
On considère :
\[ f(x)=x-2\ln x \]
sur :
\[ ]0,+\infty[. \]
- Calculer \(f'(x)\).
- Étudier le signe de \(f'(x)\).
- Dresser le tableau de variations.
- Déterminer le minimum de \(f\).
Limites
Croissance comparée
Calculer :
1. \[ \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x^2}; \]
2. \[ \lim_{x\to0^+} x^2\ln x; \]
3. \[ \lim_{x\to1} \frac{\ln x}{x-1}. \]
Modélisation logarithmique
Niveau sonore en décibels
Le niveau sonore associé à une intensité \(I\) est défini par :
\[ L=10\log\left(\frac I{I_0}\right). \]
- Calculer l’augmentation du niveau sonore lorsque l’intensité est multipliée par \(10\).
- Calculer l’augmentation lorsque l’intensité est multipliée par \(100\).
- Interpréter les résultats.
Pont vers l’Université
À l’Université, le logarithme intervient dans de nombreuses branches des mathématiques.
Fonction réciproque de l’exponentielle
La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle :
\[ \ln(e^x)=x \]
et :
\[ e^{\ln x}=x, \qquad x>0. \]
Équivalent fondamental
Au voisinage de \(0\) :
\[ \ln(1+x)\sim x. \]
Cela signifie que :
\[ \frac{\ln(1+x)}x\longrightarrow1. \]
Cette relation permet de calculer rapidement de nombreuses limites.
Développements limités
Au voisinage de \(0\) :
\[ \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3} -\cdots \]
Cette écriture permet d’obtenir des approximations très précises lorsque \(x\) est petit.
Analyse de complexité
En informatique, une complexité de la forme :
\[ O(\log n) \]
correspond à un nombre d’opérations qui augmente très lentement lorsque la taille \(n\) du problème grandit.
C’est notamment le cas de la recherche dichotomique dans un tableau trié.
Théorie de l’information
La quantité d’information associée à un événement de probabilité \(p\) peut être modélisée par :
\[ -\log_2(p). \]
Un événement rare transporte alors davantage d’information qu’un événement très probable.
Synthèse
Domaine
\[ \ln x \]
est défini si et seulement si :
\[ x>0. \]
Pour :
\[ \ln(u(x)), \]
il faut :
\[ u(x)>0. \]
Propriétés algébriques
Pour \(a>0\) et \(b>0\) :
\[ \ln(ab)=\ln a+\ln b, \]
\[ \ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b, \]
\[ \ln(a^n)=n\ln a. \]
Valeurs remarquables
\[ \ln1=0. \]
\[ \ln x<0 \quad\text{sur}\quad ]0,1[. \]
\[ \ln x>0 \quad\text{sur}\quad ]1,+\infty[. \]
Dérivée
\[ (\ln x)'=\frac1x. \]
Si \(u(x)>0\) :
\[ \bigl(\ln(u(x))\bigr)' = \frac{u'(x)}{u(x)}. \]
Variations
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur :
\[ ]0,+\infty[. \]
Ainsi :
\[ \ln a<\ln b \Longleftrightarrow a<b. \]
Limites
\[ \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty, \]
\[ \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty, \]
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0, \qquad \alpha>0, \]
\[ \lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln x=0, \qquad \alpha>0, \]
\[ \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1. \]
Équations
Pour \(A>0\) et \(B>0\) :
\[ \ln A=\ln B \Longleftrightarrow A=B. \]
Inéquations
Comme \(\ln\) est croissante :
\[ \ln A<\ln B \Longleftrightarrow A<B, \]
à condition que :
\[ A>0 \qquad\text{et}\qquad B>0. \]
Logarithme décimal
\[ \log x = \frac{\ln x}{\ln10}. \]
\[ \log(10^n)=n. \]
Réflexe essentiel
Pour tout problème logarithmique :
- déterminer le domaine ;
- utiliser les propriétés algébriques ;
- exploiter la croissance de \(\ln\) ;
- vérifier que les solutions appartiennent au domaine.