Calcul algébrique avancé
Le calcul algébrique permet de transformer une expression sans modifier sa valeur, afin de la rendre plus facile à :
- calculer ;
- factoriser ;
- comparer ;
- étudier ;
- dériver ;
- intégrer ;
- utiliser dans une équation ou une inéquation.
Les expressions :
\[ (x-2)(x+3) \]
et :
\[ x^2+x-6 \]
sont égales pour toute valeur réelle de \(x\).
Cependant, elles ne donnent pas accès aux mêmes informations.
La forme développée :
\[ x^2+x-6 \]
facilite l’identification des coefficients.
La forme factorisée :
\[ (x-2)(x+3) \]
permet de lire immédiatement les racines :
\[ x=2 \qquad\text{et}\qquad x=-3. \]
Transformer une expression consiste donc à choisir la forme la mieux adaptée au problème.
“En calcul algébrique, une transformation n’est utile que si elle conserve l’égalité et simplifie le raisonnement.
Expressions algébriques et domaine de définition
Une expression algébrique peut contenir :
- des nombres ;
- des variables ;
- des sommes ;
- des produits ;
- des quotients ;
- des puissances ;
- des racines.
Avant tout calcul, il faut vérifier pour quelles valeurs de la variable l’expression est définie.
Le domaine de définition d’une expression est l’ensemble des valeurs de la variable pour lesquelles tous les calculs indiqués sont possibles.
Quotients
Une fraction n’est définie que lorsque son dénominateur est non nul.
Considérons :
\[ A(x)=\frac{2x+1}{x-3}. \]
Le dénominateur doit vérifier :
\[ x-3\neq0. \]
Ainsi :
\[ x\neq3. \]
Le domaine de définition est donc :
\[ \boxed{\mathcal D_A=\mathbb R\setminus\{3\}}. \]
Racines carrées
Dans \(\mathbb R\), une racine carrée est définie lorsque son radicand est positif ou nul.
Considérons :
\[ B(x)=\sqrt{2x-6}. \]
Il faut :
\[ 2x-6\geq0. \]
Donc :
\[ x\geq3. \]
Ainsi :
\[ \boxed{\mathcal D_B=[3,+\infty[}. \]
Combinaison de contraintes
Considérons :
\[ C(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x-1}. \]
Il faut simultanément :
\[ x+2\geq0 \]
et :
\[ x-1\neq0. \]
On obtient :
\[ x\geq-2 \qquad\text{et}\qquad x\neq1. \]
Par conséquent :
\[ \boxed{ \mathcal D_C=[-2,1[\cup]1,+\infty[ }. \]
Une simplification algébrique ne doit pas faire oublier les valeurs interdites de l’expression initiale.
Par exemple :
\[ \frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1 \]
est valable seulement si :
\[ x\neq2. \]
L’expression initiale n’est pas définie en \(x=2\), même si l’expression simplifiée \(x+1\) l’est.
Développer et réduire
Développer consiste à transformer un produit en une somme.
Distributivité simple
Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(c\) :
\[ a(b+c)=ab+ac, \]
et :
\[ a(b-c)=ab-ac. \]
Développons :
\[ 3x(2x-5). \]
On obtient :
\[ 3x(2x-5) = 3x\times2x-3x\times5. \]
Donc :
\[ \boxed{3x(2x-5)=6x^2-15x}. \]
Double distributivité
Pour tous réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) :
\[ (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd. \]
Développons :
\[ (2x-3)(x+4). \]
On obtient :
\[ (2x-3)(x+4) = 2x^2+8x-3x-12. \]
Ainsi :
\[ \boxed{(2x-3)(x+4)=2x^2+5x-12}. \]
Réduire une expression
Réduire consiste à regrouper les termes semblables.
Réduisons :
\[ 3x^2-5x+7+2x^2+4x-3. \]
On regroupe :
\[ 3x^2+2x^2=5x^2, \]
\[ -5x+4x=-x, \]
\[ 7-3=4. \]
Donc :
\[ \boxed{3x^2-5x+7+2x^2+4x-3=5x^2-x+4}. \]
Identités remarquables
Les identités remarquables permettent de développer ou de factoriser rapidement certaines expressions.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \]
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \]
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]
Les deux premières identités peuvent être visualisées à partir de l’aire d’un carré. La troisième correspond à une différence de deux carrés.
Développons :
\[ (3x-2)^2. \]
On utilise :
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]
Avec :
\[ a=3x \qquad\text{et}\qquad b=2, \]
on obtient :
\[ (3x-2)^2 = 9x^2-12x+4. \]
Ainsi :
\[ \boxed{(3x-2)^2=9x^2-12x+4}. \]
Factorisons :
\[ 25x^2-9. \]
On reconnaît :
\[ 25x^2=(5x)^2 \qquad\text{et}\qquad 9=3^2. \]
Donc :
\[ 25x^2-9 = (5x-3)(5x+3). \]
Ainsi :
\[ \boxed{25x^2-9=(5x-3)(5x+3)}. \]
Pour reconnaître :
\[ a^2+2ab+b^2, \]
il ne suffit pas que le premier et le dernier terme soient des carrés.
Le terme central doit être exactement :
\[ 2ab. \]
Par exemple :
\[ x^2+6x+9=(x+3)^2, \]
car :
\[ 6x=2\times x\times3. \]
Factoriser une expression
Factoriser consiste à transformer une somme en un produit.
Cette forme est particulièrement utile pour :
- résoudre une équation produit ;
- étudier un signe ;
- simplifier une fraction ;
- identifier des racines.
Facteur commun
Pour factoriser :
\[ AB+AC, \]
on met \(A\) en facteur :
\[ AB+AC=A(B+C). \]
Factorisons :
\[ 6x^2-15x. \]
Les deux termes possèdent le facteur commun \(3x\).
Donc :
\[ 6x^2-15x = 3x(2x-5). \]
Ainsi :
\[ \boxed{6x^2-15x=3x(2x-5)}. \]
Facteur commun composé
Factorisons :
\[ (x-1)(2x+3)+5(x-1). \]
Le facteur commun est :
\[ x-1. \]
Donc :
\[ (x-1)(2x+3)+5(x-1) = (x-1)\bigl((2x+3)+5\bigr). \]
Ainsi :
\[ \boxed{ (x-1)(2x+3)+5(x-1) = (x-1)(2x+8) }. \]
Factorisation par regroupement
Factorisons :
\[ ax+ay+bx+by. \]
On regroupe :
\[ ax+ay=a(x+y) \]
et :
\[ bx+by=b(x+y). \]
Donc :
\[ ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y). \]
Ainsi :
\[ \boxed{ ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y) }. \]
Factoriser avec une identité remarquable
Factorisons :
\[ 4x^2+12x+9. \]
On reconnaît :
\[ 4x^2=(2x)^2, \]
\[ 9=3^2, \]
et :
\[ 12x=2\times2x\times3. \]
Donc :
\[ \boxed{4x^2+12x+9=(2x+3)^2}. \]
Fractions algébriques
Une fraction algébrique est un quotient contenant une ou plusieurs variables.
Simplifier une fraction
Pour simplifier une fraction :
- déterminer les valeurs interdites ;
- factoriser le numérateur et le dénominateur ;
- simplifier uniquement les facteurs communs ;
- conserver les restrictions initiales.
Simplifions :
\[ A(x)=\frac{x^2-9}{x^2-x-6}. \]
Le dénominateur se factorise :
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Il faut donc :
\[ x\neq3 \qquad\text{et}\qquad x\neq-2. \]
Par ailleurs :
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
Ainsi :
\[ A(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)}. \]
Pour \(x\neq3\) :
\[ A(x)=\frac{x+3}{x+2}. \]
On conclut :
\[ \boxed{ A(x)=\frac{x+3}{x+2}, \qquad x\neq3,\ -2. } \]
Dans :
\[ \frac{x+2}{x}, \]
on ne peut pas simplifier les \(x\), car \(x\) n’est pas un facteur du numérateur entier.
En revanche :
\[ \frac{x(x+2)}{x}=x+2, \qquad x\neq0. \]
Additionner des fractions
Pour additionner :
\[ \frac AB+\frac CD, \]
on utilise :
\[ \frac AB+\frac CD = \frac{AD+BC}{BD}, \]
lorsque \(B\neq0\) et \(D\neq0\).
Calculons :
\[ \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1}. \]
Les valeurs interdites sont :
\[ x\neq0 \qquad\text{et}\qquad x\neq-1. \]
On obtient :
\[ \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1} = \frac{2(x+1)+3x}{x(x+1)}. \]
Donc :
\[ \boxed{ \frac{2}{x}+\frac{3}{x+1} = \frac{5x+2}{x(x+1)} }. \]
Fraction complexe
Simplifions :
\[ \frac{\frac1x+\frac12}{\frac1x}. \]
On suppose :
\[ x\neq0. \]
Le numérateur vaut :
\[ \frac1x+\frac12 = \frac{2+x}{2x}. \]
Ainsi :
\[ \frac{\frac{x+2}{2x}}{\frac1x} = \frac{x+2}{2x}\times x. \]
Donc :
\[ \boxed{ \frac{\frac1x+\frac12}{\frac1x} = \frac{x+2}{2} }, \qquad x\neq0. \]
Puissances
Pour \(a\neq0\), \(b\neq0\) et des entiers \(m\) et \(n\) :
\[ a^m\times a^n=a^{m+n}, \]
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \]
\[ (a^m)^n=a^{mn}, \]
\[ (ab)^n=a^nb^n, \]
\[ \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \]
\[ a^{-n}=\frac1{a^n}. \]
Simplifions :
\[ \frac{x^5x^{-2}}{x^2}, \qquad x\neq0. \]
On obtient :
\[ x^5x^{-2}=x^3. \]
Puis :
\[ \frac{x^3}{x^2}=x. \]
Ainsi :
\[ \boxed{ \frac{x^5x^{-2}}{x^2}=x }, \qquad x\neq0. \]
En général :
\[ a^n+b^n\neq(a+b)^n. \]
Par exemple :
\[ 2^2+3^2=13, \]
alors que :
\[ (2+3)^2=25. \]
Racines carrées
Pour \(a\geq0\) et \(b\geq0\) :
\[ \sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b. \]
Pour \(a\geq0\) et \(b>0\) :
\[ \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b}. \]
En général :
\[ \sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b. \]
Par exemple :
\[ \sqrt{9+16}=5, \]
mais :
\[ \sqrt9+\sqrt{16}=7. \]
Extraire un carré parfait
Simplifions :
\[ \sqrt{72}. \]
On écrit :
\[ 72=36\times2. \]
Donc :
\[ \sqrt{72} = \sqrt{36}\sqrt2. \]
Ainsi :
\[ \boxed{\sqrt{72}=6\sqrt2}. \]
Rationaliser un dénominateur
Pour rationaliser :
\[ \frac1{\sqrt a}, \]
on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt a\) :
\[ \frac1{\sqrt a} = \frac{\sqrt a}{a}. \]
Rationalisons :
\[ \frac1{\sqrt3-1}. \]
La quantité conjuguée de \(\sqrt3-1\) est :
\[ \sqrt3+1. \]
Donc :
\[ \frac1{\sqrt3-1} = \frac{\sqrt3+1}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}. \]
Or :
\[ (\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2. \]
Ainsi :
\[ \boxed{ \frac1{\sqrt3-1} = \frac{\sqrt3+1}{2} }. \]
Résoudre une équation
Résoudre une équation consiste à déterminer toutes les valeurs de la variable pour lesquelles l’égalité est vraie.
Équation du premier degré
Pour \(a\neq0\) :
\[ ax+b=0 \]
équivaut à :
\[ x=-\frac ba. \]
Résolvons :
\[ 3x-7=5. \]
On obtient :
\[ 3x=12, \]
puis :
\[ \boxed{x=4}. \]
Équation produit
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul :
\[ AB=0 \Longleftrightarrow A=0 \quad\text{ou}\quad B=0. \]
Résolvons :
\[ (x-3)(2x+5)=0. \]
On a :
\[ x-3=0 \]
ou :
\[ 2x+5=0. \]
Donc :
\[ x=3 \]
ou :
\[ x=-\frac52. \]
Ainsi :
\[ \boxed{ S=\left\{-\frac52,3\right\}. } \]
Équation quotient
Pour résoudre :
\[ \frac{A(x)}{B(x)}=0, \]
il faut :
\[ A(x)=0 \]
et :
\[ B(x)\neq0. \]
Résolvons :
\[ \frac{x^2-4}{x-1}=0. \]
La valeur interdite est :
\[ x=1. \]
Le numérateur doit être nul :
\[ x^2-4=0. \]
Donc :
\[ (x-2)(x+2)=0. \]
Ainsi :
\[ x=2 \qquad\text{ou}\qquad x=-2. \]
Ces deux valeurs sont autorisées.
Par conséquent :
\[ \boxed{S=\{-2,2\}}. \]
Équation avec une racine carrée
Pour résoudre une équation comportant une racine carrée :
- déterminer les conditions de définition ;
- isoler la racine ;
- vérifier que l’autre membre est positif ou nul ;
- élever au carré ;
- résoudre l’équation obtenue ;
- vérifier les solutions dans l’équation initiale.
Résolvons :
\[ \sqrt{x+1}=x-1. \]
Il faut :
\[ x+1\geq0 \]
et, puisque le membre de gauche est positif ou nul :
\[ x-1\geq0. \]
Ainsi :
\[ x\geq1. \]
En élevant au carré :
\[ x+1=(x-1)^2. \]
Donc :
\[ x+1=x^2-2x+1. \]
Ainsi :
\[ x^2-3x=0. \]
On factorise :
\[ x(x-3)=0. \]
Les solutions candidates sont :
\[ x=0 \qquad\text{ou}\qquad x=3. \]
La condition \(x\geq1\) élimine \(x=0\).
On vérifie \(x=3\) :
\[ \sqrt{3+1}=2 \]
et :
\[ 3-1=2. \]
Donc :
\[ \boxed{S=\{3\}}. \]
L’implication :
\[ a=b \Longrightarrow a^2=b^2 \]
est vraie.
Mais la réciproque n’est pas toujours vraie :
\[ a^2=b^2 \Longrightarrow a=b \quad\text{ou}\quad a=-b. \]
Toute solution obtenue après élévation au carré doit donc être vérifiée dans l’équation initiale.
Inéquations et tableaux de signes
Résoudre une inéquation consiste à déterminer les valeurs de la variable pour lesquelles une comparaison est vraie.
Règles élémentaires
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l’inégalité.
On peut multiplier ou diviser les deux membres :
- par un nombre positif sans changer le sens ;
- par un nombre négatif en inversant le sens.
Résolvons :
\[ -3x+4\leq10. \]
On obtient :
\[ -3x\leq6. \]
En divisant par \(-3\), on inverse le sens :
\[ x\geq-2. \]
Ainsi :
\[ \boxed{S=[-2,+\infty[}. \]
Signe d’un produit
Pour étudier :
\[ A(x)B(x), \]
on détermine séparément le signe de chaque facteur.
Le signe d’un produit ou d’un quotient dépend du nombre de facteurs négatifs. Les valeurs interdites d’un quotient doivent être distinguées des racines.
Résolvons :
\[ (x-2)(x+3)\leq0. \]
Les facteurs s’annulent pour :
\[ x=2 \qquad\text{et}\qquad x=-3. \]
\(x\) | \(]-\infty,-3[\) | \(-3\) | \(]-3,2[\) | \(2\) | \(]2,+\infty[\) |
|---|---|---|---|---|---|
\(x+3\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
\(x-2\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Produit | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Le produit est négatif ou nul sur :
\[ \boxed{[-3,2]}. \]
Signe d’un quotient
Résolvons :
\[ \frac{x-1}{x+2}>0. \]
Le numérateur s’annule pour :
\[ x=1. \]
Le dénominateur s’annule pour :
\[ x=-2, \]
qui est une valeur interdite.
\(x\) | \(]-\infty,-2[\) | \(-2\) | \(]-2,1[\) | \(1\) | \(]1,+\infty[\) |
|---|---|---|---|---|---|
\(x-1\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
\(x+2\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Quotient | \(+\) | interdit | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Comme l’inégalité est stricte, la valeur \(x=1\) est exclue.
Ainsi :
\[ \boxed{ S=]-\infty,-2[\cup]1,+\infty[ }. \]
Valeur absolue
Pour tout réel \(x\) :
\[ |x|= \begin{cases} x & \text{si }x\geq0,\\ -x & \text{si }x<0. \end{cases} \]
La valeur absolue représente une distance à zéro.
Plus généralement :
\[ |x-a| \]
représente la distance entre \(x\) et \(a\).
Équations avec une valeur absolue
Pour \(a\geq0\) :
\[ |x|=a \Longleftrightarrow x=a \quad\text{ou}\quad x=-a. \]
Si \(a<0\), l’équation n’a aucune solution.
Résolvons :
\[ |x-3|=5. \]
On a :
\[ x-3=5 \]
ou :
\[ x-3=-5. \]
Donc :
\[ x=8 \]
ou :
\[ x=-2. \]
Ainsi :
\[ \boxed{S=\{-2,8\}}. \]
Inéquations avec une valeur absolue
Pour \(a>0\) :
\[ |x|<a \Longleftrightarrow -a<x<a, \]
et :
\[ |x|>a \Longleftrightarrow x<-a \quad\text{ou}\quad x>a. \]
Résolvons :
\[ |2x-1|\leq3. \]
On obtient :
\[ -3\leq2x-1\leq3. \]
On ajoute \(1\) :
\[ -2\leq2x\leq4. \]
On divise par \(2\) :
\[ -1\leq x\leq2. \]
Ainsi :
\[ \boxed{S=[-1,2]}. \]
Changements de variable
Un changement de variable permet de ramener une expression compliquée à une forme plus simple.
Lorsqu’une même expression apparaît plusieurs fois, on peut poser :
\[ X=u(x). \]
On résout alors le problème en \(X\), puis on revient à la variable \(x\).
Résolvons :
\[ x^4-5x^2+4=0. \]
Posons :
\[ X=x^2. \]
L’équation devient :
\[ X^2-5X+4=0. \]
On factorise :
\[ (X-1)(X-4)=0. \]
Donc :
\[ X=1 \qquad\text{ou}\qquad X=4. \]
Comme \(X=x^2\) :
\[ x^2=1 \]
ou :
\[ x^2=4. \]
Ainsi :
\[ \boxed{S=\{-2,-1,1,2\}}. \]
Dans une substitution comme :
\[ X=x^2, \]
on a nécessairement :
\[ X\geq0. \]
Une solution négative obtenue pour \(X\) doit être rejetée.
Choisir la bonne forme
Objectif | Forme généralement utile |
|---|---|
Calculer une valeur numérique | Forme développée et réduite |
Résoudre une équation produit | Forme factorisée |
Étudier un signe | Forme factorisée |
Identifier les coefficients | Forme développée |
Lire les racines | Forme factorisée |
Étudier le comportement à l’infini | Terme dominant ou forme adaptée |
Simplifier une fraction | Numérateur et dénominateur factorisés |
Dériver une expression | Forme développée ou décomposée |
Mettre en évidence un carré | Forme canonique ou identité remarquable |
Avant de transformer une expression, se demander :
- Quel est le domaine de définition ?
- Quel est l’objectif du calcul ?
- Faut-il développer ou factoriser ?
- Une identité remarquable est-elle visible ?
- Existe-t-il un facteur commun ?
- Un changement de variable est-il pertinent ?
- Les transformations sont-elles réversibles ?
- Les solutions obtenues doivent-elles être vérifiées ?
Erreurs fréquentes
Erreur | Écriture incorrecte | Correction |
|---|---|---|
Carré d’une somme | \((a+b)^2=a^2+b^2\) | \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) |
Racine d’une somme | \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\) | Aucune simplification générale |
Simplification dans une somme | \(\frac{x+2}{x}=2\) | Impossible de simplifier les \(x\) |
Oubli d’une valeur interdite | \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) pour tout \(x\) | Valable seulement pour \(x\neq1\) |
Mauvais sens d’une inégalité | \(-2x<4\Rightarrow x<-2\) | \(x>-2\) |
Produit nul mal appliqué | \(AB=0\Rightarrow A=0\text{ et }B=0\) | \(A=0\text{ ou }B=0\) |
Élévation au carré sans contrôle | Conservation automatique des solutions | Vérifier dans l’équation initiale |
Division par une expression | Division sans vérifier qu’elle est non nulle | Étudier séparément le cas où elle vaut zéro |
Exercices diagnostiques et progressifs
Développer et réduire
Développements essentiels
Développer et réduire :
- \[
A(x)=3x(2x-5); \]
- \[
B(x)=(2x-3)(x+4); \]
- \[
C(x)=(3x-2)^2; \]
- \[
D(x)=(5x-1)(5x+1). \]
Factoriser
Choisir une méthode de factorisation
Factoriser :
- \[
8x^2-12x; \]
- \[
x^2-16; \]
- \[
9x^2+12x+4; \]
- \[
(x+2)(3x-1)-5(x+2). \]
Fractions algébriques
Simplifier sans perdre les valeurs interdites
On considère :
\[ A(x)=\frac{x^2-4}{x^2+x-6}. \]
- Déterminer le domaine de définition.
- Factoriser le numérateur et le dénominateur.
- Simplifier l’expression.
Équation produit et quotient
Résoudre des équations factorisées
Résoudre dans \(\mathbb R\) :
- \[
(3x-2)(x+5)=0; \]
- \[
\frac{(x-1)(x+4)}{x-3}=0. \]
Inéquation produit
Étudier le signe d’un produit
Résoudre :
\[ (2x-3)(x+1)\geq0. \]
Inéquation quotient
Étudier le signe d’un quotient
Résoudre :
\[ \frac{2x+1}{x-4}<0. \]
Valeur absolue
Interpréter une distance
Résoudre :
- \[
|2x-3|=5; \]
- \[
|x+1|<4. \]
Changement de variable
Résoudre une équation bicarrée
Résoudre dans \(\mathbb R\) :
\[ x^4-13x^2+36=0. \]
Synthèse algébrique
Étude complète d’une expression rationnelle
On considère :
\[ A(x)=\frac{x^2-5x+6}{x^2-4}. \]
- Déterminer le domaine de définition.
- Factoriser le numérateur et le dénominateur.
- Simplifier l’expression lorsque cela est possible.
- Résoudre :
\[ A(x)=0. \]
- Résoudre :
\[ A(x)>0. \]
Pont vers l’Université
À l’Université, le calcul algébrique n’est plus seulement un ensemble de techniques de manipulation.
Il est étudié dans des structures comme :
- les groupes ;
- les anneaux ;
- les corps ;
- les espaces vectoriels ;
- les anneaux de polynômes.
Égalité formelle et égalité fonctionnelle
Deux expressions peuvent être égales sur un domaine sans être définies exactement aux mêmes endroits.
Par exemple :
\[ \frac{x^2-1}{x-1} \]
et :
\[ x+1 \]
ont les mêmes valeurs lorsque \(x\neq1\), mais leurs domaines sont différents.
Cette distinction devient essentielle en analyse.
Polynômes
Les polynômes sont étudiés comme des objets algébriques indépendants des fonctions qu’ils définissent.
On s’intéresse notamment :
- à leur degré ;
- à leurs racines ;
- à leur divisibilité ;
- à leur factorisation ;
- à leurs coefficients ;
- aux relations entre racines et coefficients.
Calcul formel
Les logiciels de calcul formel peuvent :
- développer ;
- factoriser ;
- simplifier ;
- résoudre des équations ;
- calculer des dérivées et des primitives.
Cependant, ces outils doivent respecter les domaines de définition et les hypothèses du problème.
Comprendre les transformations algébriques reste donc indispensable pour contrôler et interpréter les résultats produits par un logiciel.
Synthèse
Domaine de définition
Toujours vérifier :
- les dénominateurs non nuls ;
- les radicands positifs ou nuls ;
- les contraintes propres à l’expression.
Développement
\[ a(b+c)=ab+ac. \]
\[ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. \]
Identités remarquables
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \]
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, \]
\[ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. \]
Factorisation
Chercher successivement :
- un facteur commun ;
- une identité remarquable ;
- un regroupement ;
- une factorisation connue.
Fractions algébriques
- factoriser avant de simplifier ;
- simplifier uniquement des facteurs ;
- conserver les valeurs interdites initiales.
Produit nul
\[ AB=0 \Longleftrightarrow A=0 \quad\text{ou}\quad B=0. \]
Fraction nulle
\[ \frac AB=0 \Longleftrightarrow A=0 \quad\text{et}\quad B\neq0. \]
Inéquations
- repérer les racines ;
- repérer les valeurs interdites ;
- construire un tableau de signes ;
- tenir compte du caractère strict ou large de l’inégalité.
Valeur absolue
\[ |x|=a \Longleftrightarrow x=a \quad\text{ou}\quad x=-a. \]
Pour \(a>0\) :
\[ |x|<a \Longleftrightarrow -a<x<a. \]
Changement de variable
Lorsqu’une même expression apparaît plusieurs fois, poser :
\[ X=u(x) \]
peut ramener le problème à une équation plus simple.
Vérification finale
Après toute transformation non réversible, notamment une élévation au carré, vérifier les solutions dans l’équation initiale.