Méthodes de démonstration
En mathématiques, observer plusieurs exemples ne suffit pas pour établir qu’une propriété est toujours vraie.
Une démonstration est un raisonnement logique qui permet de déduire une conclusion à partir :
- d’hypothèses clairement identifiées ;
- de définitions ;
- de propriétés déjà établies ;
- de théorèmes connus.
Une démonstration ressemble à un chemin dont chaque étape doit être justifiée.
On part de ce que l’on sait, puis on avance progressivement jusqu’à ce que l’on veut établir :
\[ \text{hypothèses} \Longrightarrow \text{résultats intermédiaires} \Longrightarrow \text{conclusion}. \]
Une bonne démonstration ne consiste donc pas seulement à trouver le résultat : elle doit expliquer pourquoi ce résultat est nécessairement vrai.
“Une affirmation mathématique n’est pas vraie parce qu’elle paraît évidente, mais parce qu’elle peut être démontrée.
Comprendre ce qu’il faut démontrer
Avant de commencer une démonstration, il faut identifier précisément :
- les hypothèses ;
- la conclusion ;
- les objets concernés ;
- les quantificateurs utilisés ;
- la nature de l’affirmation.
Une proposition mathématique est une phrase à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité :
- vraie ;
- ou fausse.
Par exemple :
\[ \text{« Pour tout entier } n,\ n(n+1)\text{ est pair. »} \]
est une proposition mathématique.
Hypothèse et conclusion
Une proposition de la forme :
\[ P\Longrightarrow Q \]
se lit :
“Si \(P\) est vraie, alors \(Q\) est vraie.
- \(P\) est l’hypothèse ;
- \(Q\) est la conclusion.
Considérons l’affirmation :
“Si un entier \(n\) est multiple de \(6\), alors \(n\) est pair.
L’hypothèse est :
\[ 6\mid n. \]
La conclusion est :
\[ 2\mid n. \]
Implication et réciproque
La réciproque de :
\[ P\Longrightarrow Q \]
est :
\[ Q\Longrightarrow P. \]
Une implication vraie peut avoir une réciproque fausse.
L’implication :
\[ n\text{ multiple de }4 \Longrightarrow n\text{ pair} \]
est vraie.
Sa réciproque serait :
\[ n\text{ pair} \Longrightarrow n\text{ multiple de }4. \]
Elle est fausse. Par exemple, \(6\) est pair mais n’est pas multiple de \(4\).
Pour démontrer :
\[ P\Longrightarrow Q, \]
on suppose que \(P\) est vraie et l’on cherche à établir \(Q\).
On ne doit pas commencer en supposant directement que \(Q\) est vraie, sauf dans un raisonnement par l’absurde où cette supposition est explicitement niée.
Démonstration directe
La démonstration directe est la méthode la plus naturelle.
Pour démontrer :
\[ P\Longrightarrow Q, \]
on suppose \(P\), puis on utilise les définitions et les propriétés connues jusqu’à obtenir \(Q\).
- Supposer l’hypothèse vraie.
- Traduire cette hypothèse à l’aide d’une définition.
- Effectuer les transformations nécessaires.
- Identifier la conclusion recherchée.
- Conclure explicitement.
Démontrons que, pour tout entier \(n\) :
\[ n\text{ pair} \Longrightarrow n^2\text{ pair}. \]
Supposons que \(n\) est pair.
Il existe donc un entier \(k\) tel que :
\[ n=2k. \]
Alors :
\[ n^2=(2k)^2=4k^2=2(2k^2). \]
Comme \(2k^2\) est un entier, \(n^2\) est divisible par \(2\).
Ainsi :
\[ \boxed{n^2\text{ est pair}.} \]
Soient \(a\), \(b\) et \(d\) trois entiers.
Supposons :
\[ d\mid a \qquad\text{et}\qquad d\mid b. \]
Il existe alors \(p,q\in\mathbb Z\) tels que :
\[ a=dp \qquad\text{et}\qquad b=dq. \]
On obtient :
\[ a+b=dp+dq=d(p+q). \]
Comme \(p+q\in\mathbb Z\), on a :
\[ \boxed{d\mid(a+b)}. \]
Démonstration par contraposée
La contraposée de :
\[ P\Longrightarrow Q \]
est :
\[ \neg Q\Longrightarrow\neg P. \]
Ces deux propositions sont logiquement équivalentes.
On a :
\[ P\Longrightarrow Q \]
si et seulement si :
\[ \neg Q\Longrightarrow\neg P. \]
Démontrer une implication revient donc à démontrer sa contraposée.
Pour démontrer :
\[ P\Longrightarrow Q, \]
on peut :
- supposer que \(Q\) est fausse ;
- démontrer que \(P\) est alors nécessairement fausse ;
- conclure que l’implication initiale est vraie.
Démontrons :
\[ n^2\text{ pair} \Longrightarrow n\text{ pair}. \]
Sa contraposée est :
\[ n\text{ impair} \Longrightarrow n^2\text{ impair}. \]
Supposons \(n\) impair.
Il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que :
\[ n=2k+1. \]
Alors :
\[ n^2=(2k+1)^2 =4k^2+4k+1. \]
Donc :
\[ n^2=2(2k^2+2k)+1. \]
Ainsi, \(n^2\) est impair.
La contraposée étant démontrée, on conclut :
\[ \boxed{ n^2\text{ pair} \Longrightarrow n\text{ pair}. } \]
La contraposée de :
\[ P\Longrightarrow Q \]
est :
\[ \neg Q\Longrightarrow\neg P. \]
La réciproque est :
\[ Q\Longrightarrow P. \]
La contraposée est équivalente à l’implication initiale. La réciproque ne l’est pas nécessairement.
Démonstration par l’absurde
Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer que la conclusion recherchée est fausse, puis à montrer que cette hypothèse conduit à une contradiction.
Pour démontrer une proposition \(P\) :
- supposer que \(P\) est fausse ;
- développer les conséquences de cette supposition ;
- obtenir une contradiction ;
- conclure que la supposition est impossible ;
- en déduire que \(P\) est vraie.
Une contradiction peut prendre différentes formes :
\[ 0=1, \]
\[ a<b \quad\text{et}\quad a\geq b, \]
ou encore une affirmation incompatible avec une hypothèse du problème.
Démontrons que \(\sqrt2\) n’est pas rationnel.
Supposons, par l’absurde, que \(\sqrt2\) est rationnel.
Il existe alors deux entiers \(p\) et \(q\), premiers entre eux, avec \(q\neq0\), tels que :
\[ \sqrt2=\frac pq. \]
En élevant au carré :
\[ 2=\frac{p^2}{q^2}, \]
donc :
\[ p^2=2q^2. \]
Ainsi, \(p^2\) est pair. Par conséquent, \(p\) est pair.
Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que :
\[ p=2k. \]
En remplaçant :
\[ (2k)^2=2q^2, \]
soit :
\[ 4k^2=2q^2. \]
Donc :
\[ q^2=2k^2. \]
Ainsi, \(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair.
Les entiers \(p\) et \(q\) sont donc tous les deux divisibles par \(2\), ce qui contredit le fait qu’ils sont premiers entre eux.
La supposition initiale est impossible. Donc :
\[ \boxed{\sqrt2\notin\mathbb Q}. \]
Raisonnement par disjonction de cas
Certaines propriétés dépendent de plusieurs situations distinctes.
On divise alors le problème en cas qui couvrent toutes les possibilités.
Pour démontrer une propriété \(P\) :
- identifier des cas exhaustifs ;
- démontrer \(P\) dans chaque cas ;
- conclure que \(P\) est vraie dans toutes les situations.
Les cas doivent couvrir toutes les possibilités et ne laisser aucune situation de côté.
Pour tout entier \(n\), démontrons que :
\[ n(n+1) \]
est pair.
Deux cas sont possibles.
Cas où \(n\) est pair
Il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que :
\[ n=2k. \]
Alors :
\[ n(n+1)=2k(n+1), \]
donc le produit est pair.
Cas où \(n\) est impair
Dans ce cas, \(n+1\) est pair.
Il existe donc \(k\in\mathbb Z\) tel que :
\[ n+1=2k. \]
Alors :
\[ n(n+1)=2kn, \]
donc le produit est pair.
Dans tous les cas :
\[ \boxed{n(n+1)\text{ est pair}.} \]
Démontrons que, pour tout réel \(x\) :
\[ |x|\geq x. \]
Deux cas sont possibles.
Si \(x\geq0\), alors :
\[ |x|=x, \]
donc :
\[ |x|\geq x. \]
Si \(x<0\), alors :
\[ |x|=-x. \]
Comme \(x<0\), on a :
\[ -x>x. \]
Ainsi :
\[ |x|\geq x. \]
La propriété est donc vraie pour tout réel \(x\).
Démontrer une équivalence
Une équivalence :
\[ P\Longleftrightarrow Q \]
signifie que les deux implications suivantes sont vraies :
\[ P\Longrightarrow Q \]
et :
\[ Q\Longrightarrow P. \]
Pour démontrer :
\[ P\Longleftrightarrow Q, \]
il faut généralement rédiger deux parties distinctes :
- démontrer :
\[ P\Longrightarrow Q; \]
- démontrer :
\[ Q\Longrightarrow P. \]
Démontrons que, pour tout entier \(n\) :
\[ n\text{ est pair} \Longleftrightarrow n^2\text{ est pair}. \]
Sens direct
Nous avons déjà démontré :
\[ n\text{ pair} \Longrightarrow n^2\text{ pair}. \]
Sens réciproque
Nous avons également démontré, par contraposée :
\[ n^2\text{ pair} \Longrightarrow n\text{ pair}. \]
Ainsi :
\[ \boxed{ n\text{ est pair} \Longleftrightarrow n^2\text{ est pair}. } \]
Démontrer seulement :
\[ P\Longrightarrow Q \]
ne suffit pas pour conclure :
\[ P\Longleftrightarrow Q. \]
Il faut également établir la réciproque :
\[ Q\Longrightarrow P. \]
Réfuter une affirmation
Pour montrer qu’une proposition universelle est fausse, il suffit de trouver un seul contre-exemple.
Un contre-exemple est un objet qui vérifie les hypothèses d’une affirmation mais pas sa conclusion.
Considérons l’affirmation :
“Pour tout réel \(x\), si \(x^2>1\), alors \(x>1\).
Prenons :
\[ x=-2. \]
On a :
\[ x^2=4>1, \]
mais :
\[ x=-2\not>1. \]
Ainsi, \(x=-2\) est un contre-exemple.
L’affirmation est donc fausse.
Vérifier une propriété pour plusieurs nombres ne prouve pas qu’elle est vraie pour tous les nombres.
En revanche, un seul contre-exemple suffit pour prouver qu’une affirmation universelle est fausse.
Démontrer une existence
Une affirmation existentielle s’écrit généralement :
\[ \exists x,\quad P(x). \]
Pour la démontrer, il suffit de construire ou de présenter un objet qui vérifie la propriété.
Démontrons qu’il existe un entier \(n\) tel que :
\[ n^2-5n+6=0. \]
Prenons :
\[ n=2. \]
Alors :
\[ 2^2-5\times2+6 = 4-10+6 = 0. \]
Ainsi, il existe bien un entier satisfaisant l’équation.
Démontrer l’unicité
Pour démontrer qu’un objet est unique, on procède souvent en deux étapes :
- démontrer son existence ;
- supposer qu’il existe deux objets satisfaisant la propriété, puis montrer qu’ils sont égaux.
Pour établir qu’il existe un unique objet \(x\) vérifiant \(P(x)\) :
- existence : construire au moins un objet vérifiant \(P\) ;
- unicité : supposer que \(x_1\) et \(x_2\) vérifient \(P\), puis démontrer :
\[ x_1=x_2. \]
Considérons l’équation :
\[ 3x+5=11. \]
On vérifie que :
\[ x=2 \]
est une solution.
Supposons maintenant que \(x_1\) et \(x_2\) sont deux solutions.
On a :
\[ 3x_1+5=11 \]
et :
\[ 3x_2+5=11. \]
Donc :
\[ 3x_1=3x_2, \]
puis :
\[ x_1=x_2. \]
La solution est donc unique.
Raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer une propriété dépendant d’un entier naturel.
On considère une proposition \(P(n)\), définie pour tout entier \(n\) à partir d’un certain rang \(n_0\).
Imaginons une suite infinie de dominos.
Pour garantir que tous les dominos tombent, il suffit de vérifier :
- que le premier domino tombe ;
- que la chute d’un domino entraîne celle du suivant.
En mathématiques :
- faire tomber le premier domino correspond à l’initialisation ;
- transmettre la chute correspond à l’hérédité.
L’initialisation déclenche le raisonnement. L’hérédité permet ensuite de transmettre la propriété d’un rang au rang suivant.
Soit \(P(n)\) une propriété définie pour tout entier \(n\geq n_0\).
Si :
- \(P(n_0)\) est vraie ;
- pour tout entier \(k\geq n_0\) :
\[ P(k)\Longrightarrow P(k+1), \]
alors \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geq n_0\).
Une démonstration par récurrence comporte quatre étapes.
Propriété
Énoncer clairement la propriété \(P(n)\).
Initialisation
Vérifier que \(P(n_0)\) est vraie.
Hérédité
- considérer un entier \(k\geq n_0\) ;
- supposer \(P(k)\) vraie ;
- démontrer \(P(k+1)\).
Conclusion
Conclure, grâce au principe de récurrence, que \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\geq n_0\).
Démontrons que, pour tout entier \(n\geq1\) :
\[ 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}2. \]
Notons \(P(n)\) la propriété :
\[ 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}2. \]
Initialisation
Pour \(n=1\) :
\[ 1=\frac{1(1+1)}2=1. \]
Donc \(P(1)\) est vraie.
Hérédité
Soit \(k\geq1\).
Supposons \(P(k)\) vraie, c’est-à-dire :
\[ 1+2+\cdots+k = \frac{k(k+1)}2. \]
Alors :
\[ 1+2+\cdots+k+(k+1) = \frac{k(k+1)}2+(k+1). \]
On factorise par \(k+1\) :
\[ \frac{k(k+1)}2+(k+1) = (k+1)\left(\frac k2+1\right). \]
Donc :
\[ 1+2+\cdots+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}2. \]
Ainsi, \(P(k+1)\) est vraie.
Conclusion
Par récurrence :
\[ \boxed{ 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}2 } \]
pour tout entier \(n\geq1\).
Dans l’étape d’hérédité, il ne suffit pas de calculer \(P(k+1)\).
Il faut utiliser explicitement l’hypothèse :
\[ P(k)\text{ est vraie}. \]
Sans cette hypothèse, la transmission d’un rang au suivant n’est pas démontrée.
Récurrence forte
Dans une récurrence forte, on suppose que la propriété est vraie à tous les rangs précédents :
\[ P(n_0),\ P(n_0+1),\ldots,P(k), \]
puis on démontre \(P(k+1)\).
Soit \(P(n)\) une propriété définie pour \(n\geq n_0\).
Si :
- les premiers rangs nécessaires sont vérifiés ;
- pour tout \(k\geq n_0\), la vérité de toutes les propriétés :
\[ P(n_0),P(n_0+1),\ldots,P(k) \]
entraîne \(P(k+1)\) ;
alors \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geq n_0\).
Pour démontrer que tout entier \(n\geq2\) est un produit de nombres premiers, on peut utiliser une récurrence forte.
- Si \(n\) est premier, la propriété est immédiate.
- Si \(n\) n’est pas premier, il existe deux entiers \(a\) et \(b\) tels que :
\[ n=ab \]
avec :
\[ 2\leq a<n \qquad\text{et}\qquad 2\leq b<n. \]
Par hypothèse de récurrence forte, \(a\) et \(b\) sont des produits de nombres premiers.
Donc \(n=ab\) est lui aussi un produit de nombres premiers.
Choisir une méthode de démonstration
Il n’existe pas toujours une unique méthode possible.
Le choix dépend de la forme de l’affirmation et des informations disponibles.
La forme de l’affirmation fournit souvent un premier indice : implication, équivalence, propriété universelle, existence ou propriété dépendant d’un entier.
Forme du problème | Méthode souvent adaptée |
|---|---|
Partir d’hypothèses explicites pour obtenir une conclusion | Démonstration directe |
La négation de la conclusion est plus facile à exploiter | Contraposée |
La négation de la propriété conduit à une impossibilité | Raisonnement par l’absurde |
Plusieurs situations doivent être distinguées | Disjonction de cas |
La propriété contient « si et seulement si » | Deux implications |
L’affirmation universelle semble fausse | Recherche d’un contre-exemple |
Il faut montrer qu’un objet existe | Construction d’un exemple |
La propriété dépend d’un entier \(n\) | Récurrence |
Le rang \(n+1\) dépend de plusieurs rangs précédents | Récurrence forte |
- Que dois-je exactement démontrer ?
- Quelles sont mes hypothèses ?
- Puis-je traduire les hypothèses à l’aide d’une définition ?
- La conclusion contient-elle une divisibilité, une égalité ou une inégalité ?
- La contraposée est-elle plus simple ?
- Une supposition contraire conduit-elle à une contradiction ?
- Dois-je distinguer plusieurs cas ?
- La propriété dépend-elle d’un entier naturel ?
Bien rédiger une démonstration
Une démonstration doit pouvoir être comprise par une personne qui ne connaît pas encore le résultat.
Une démonstration doit être :
- correcte ;
- complète ;
- structurée ;
- concise ;
- lisible ;
- explicitement conclue.
Expressions utiles
Étape du raisonnement | Formulation possible |
|---|---|
Introduire une hypothèse | « Supposons que… » |
Traduire une définition | « Il existe donc un entier \(k\) tel que… » |
Utiliser une propriété | « D’après le théorème… » |
Introduire un cas | « Distinguons deux cas. » |
Introduire une contradiction | « Supposons, par l’absurde, que… » |
Introduire une récurrence | « Notons \(P(n)\) la propriété… » |
Conclure | « Par conséquent… » |
Terminer | « La propriété est donc démontrée. » |
Erreurs fréquentes
Erreur | Pourquoi est-ce incorrect ? | Correction |
|---|---|---|
Vérifier seulement quelques exemples | Les autres cas ne sont pas traités. | Produire une démonstration générale. |
Supposer directement la conclusion | Le raisonnement devient circulaire. | Partir uniquement des hypothèses. |
Confondre réciproque et contraposée | Elles n’ont pas la même signification. | Écrire explicitement les propositions. |
Démontrer un seul sens d’une équivalence | Une équivalence exige deux implications. | Traiter le sens direct et le sens réciproque. |
Oublier un cas | La démonstration n’est pas exhaustive. | Vérifier que les cas couvrent toutes les possibilités. |
Ne pas conclure une récurrence | Initialisation et hérédité seules ne suffisent pas à la rédaction. | Invoquer explicitement le principe de récurrence. |
Utiliser un résultat non justifié | Une étape logique manque. | Citer la définition ou le théorème utilisé. |
Diviser par une quantité pouvant être nulle | L’opération peut être interdite. | Vérifier d’abord qu’elle est non nulle. |
Exercices diagnostiques et progressifs
Reconnaître la structure d’une affirmation
Implication, réciproque et contraposée
On considère l’affirmation :
“Si un entier \(n\) est multiple de \(6\), alors \(n\) est pair.
- Identifier l’hypothèse et la conclusion.
- Écrire la réciproque.
- Écrire la contraposée.
- Indiquer si la réciproque est vraie.
Démonstration directe
Combinaison de multiples
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers multiples de \(5\).
Démontrer que :
\[ 3a-2b \]
est également un multiple de \(5\).
Contraposée
Carré impair
Démontrer que, pour tout entier \(n\) :
\[ n^2\text{ impair} \Longrightarrow n\text{ impair}. \]
Raisonnement par l’absurde
Une somme rationnelle et irrationnelle
Soient \(a\in\mathbb Q\) et \(b\notin\mathbb Q\).
Démontrer que :
\[ a+b\notin\mathbb Q. \]
Disjonction de cas
Une inégalité avec une valeur absolue
Démontrer que, pour tout réel \(x\) :
\[ |x-1|\geq1-x. \]
Équivalence
Divisibilité par \(6\)
Soit \(n\in\mathbb Z\).
Démontrer que :
\[ 6\mid n \]
si et seulement si :
\[ 2\mid n \qquad\text{et}\qquad 3\mid n. \]
Récurrence
Somme des nombres impairs
Démontrer que, pour tout entier \(n\geq1\) :
\[ 1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2. \]
Synthèse des méthodes
Choisir et appliquer une méthode
Pour chacune des affirmations suivantes :
- proposer une méthode de démonstration adaptée ;
- démontrer l’affirmation.
#### Affirmation A
Pour tout entier \(n\) :
\[ n^2+n \]
est pair.
#### Affirmation B
Pour tout entier \(n\) :
\[ n^2\text{ impair} \Longrightarrow n\text{ impair}. \]
#### Affirmation C
Pour tout entier \(n\geq1\) :
\[ 2^n\geq n+1. \]
Pont vers l’Université
À l’Université, la démonstration devient le principal moyen de construire les mathématiques.
Les notions étudiées dans ce chapitre sont approfondies dans plusieurs directions.
Axiomatique
Une théorie mathématique repose sur :
- des objets primitifs ;
- des définitions ;
- des axiomes ;
- des règles de déduction.
Les théorèmes sont ensuite obtenus par enchaînement logique à partir de ces fondations.
Quantificateurs et logique formelle
Les propositions sont écrites avec précision à l’aide de symboles comme :
\[ \forall, \qquad \exists, \qquad \neg, \qquad \Longrightarrow, \qquad \Longleftrightarrow. \]
La négation d’une proposition quantifiée demande une attention particulière :
\[ \neg\left(\forall x,\ P(x)\right) \Longleftrightarrow \exists x,\ \neg P(x), \]
et :
\[ \neg\left(\exists x,\ P(x)\right) \Longleftrightarrow \forall x,\ \neg P(x). \]
Raisonnement algorithmique
Une démonstration peut aussi décrire une méthode de calcul ou un algorithme.
Par exemple :
- l’algorithme d’Euclide est accompagné d’une preuve de terminaison ;
- un algorithme de tri est accompagné d’une preuve de correction ;
- une méthode numérique est accompagnée d’une preuve de convergence.
En informatique théorique, on ne cherche donc pas seulement à construire un programme qui semble fonctionner : on cherche aussi à démontrer qu’il produit toujours le résultat attendu.
Synthèse
Démonstration directe
Pour démontrer :
\[ P\Longrightarrow Q, \]
on suppose \(P\) vraie et l’on déduit \(Q\).
Contraposée
L’implication :
\[ P\Longrightarrow Q \]
est équivalente à :
\[ \neg Q\Longrightarrow\neg P. \]
Raisonnement par l’absurde
Pour démontrer \(P\), on suppose \(\neg P\), puis on obtient une contradiction.
Disjonction de cas
On distingue plusieurs situations couvrant toutes les possibilités, puis on démontre la propriété dans chaque cas.
Équivalence
Pour démontrer :
\[ P\Longleftrightarrow Q, \]
il faut établir :
\[ P\Longrightarrow Q \]
et :
\[ Q\Longrightarrow P. \]
Contre-exemple
Pour réfuter une affirmation universelle, un seul contre-exemple suffit.
Existence et unicité
Pour démontrer qu’il existe un unique objet :
- démontrer son existence ;
- démontrer que deux objets vérifiant la propriété sont nécessairement égaux.
Récurrence
Pour démontrer \(P(n)\) pour tout \(n\geq n_0\) :
- vérifier \(P(n_0)\) ;
- démontrer :
\[ P(k)\Longrightarrow P(k+1); \]
- conclure par le principe de récurrence.
Principe de rédaction
Une démonstration doit toujours préciser :
- les hypothèses utilisées ;
- les propriétés appliquées ;
- les étapes intermédiaires ;
- la conclusion obtenue.