Langage mathématique et raisonnement
Pourquoi ce chapitre est important ?
Beaucoup d'erreurs ne viennent pas du calcul, mais d'une mauvaise compréhension des mots : montrer, démontrer, résoudre, en déduire, justifier, équivalent, implique.
Une implication est une proposition de la forme :
Elle signifie que chaque fois que la proposition \(P\) est vraie, la proposition \(Q\) est vraie.
L'implication \(P \Rightarrow Q\) ne signifie pas automatiquement \(Q \Rightarrow P\). Lorsque les deux sens sont vrais, on parle d'équivalence.
Pour démontrer une équivalence \(P \Leftrightarrow Q\), on peut démontrer séparément :
- \(P \Rightarrow Q\) ;
- \(Q \Rightarrow P\).
Comprendre une implication
Dans quelle situation l'implication \(P \Rightarrow Q\) est-elle fausse ?
Identifier des propositions
Parmi les phrases suivantes, lesquelles sont des propositions mathématiques ?
Phrase ouverte ou proposition
Sans autre précision sur \(x\), l'égalité \(x+2=5\) est une proposition mathématique.
Exercices courts
Reconnaître une proposition
Parmi les phrases suivantes, indiquer celles qui sont des propositions mathématiques.
- \(7\) est un nombre premier.
- \(x+2=5\).
- Pour tout réel \(x\), on a \(x^2\geq 0\).
- Fermer la porte.
- Existe-t-il un entier naturel supérieur à \(100\) ?
Calculer des valeurs de vérité
On considère les propositions :
\[ P : 5<8 \]
et
\[ Q : 9\text{ est un nombre premier}. \]
Déterminer la valeur de vérité de :
- \(P\) ;
- \(Q\) ;
- \(P\land Q\) ;
- \(P\lor Q\) ;
- \(P\Rightarrow Q\).
Nier une condition composée
Donner la négation de la proposition :
\[ P(x):\quad x>2\text{ et }x\leq 5. \]
Implication et réciproque
On considère l'affirmation :
“Si un entier \(n\) est divisible par \(4\), alors \(n\) est pair.
- Cette implication est-elle vraie ?
- Écrire sa réciproque.
- La réciproque est-elle vraie ?
Utiliser une contraposée
Démontrer l'affirmation suivante :
“Si \(n^2\) est impair, alors \(n\) est impair.
On utilisera un raisonnement par contraposée.
Nier une proposition quantifiée
On considère la proposition :
\[ P:\quad \forall x\in\mathbb{R},\quad x^2+1>0. \]
- Écrire la négation de \(P\).
- Déterminer si \(P\) est vraie ou fausse.
Effectuer des opérations sur des intervalles
On considère les ensembles :
\[ A=[-2,3] \]
et
\[ B=[1,5]. \]
Déterminer :
- \(A\cap B\) ;
- \(A\cup B\) ;
- \(A\setminus B\).
Raisonner directement sur la parité
Démontrer que la somme de deux entiers impairs est un entier pair.
Démontrer une identité par récurrence
Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\geq 1\) :
\[ 1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2. \]